Funkcja σ

Funkcja σ (sigma), niekiedy $d(n)$ – funkcja określona dla liczb naturalnych jako suma wszystkich dodatnich dzielników danej liczby.

Przykładowo: $\sigma (6)=1+2+3+6=12.$

Sumę $k$-tych potęg dzielników oznacza się przez ${\sigma }_k(n),$ na przykład ${\sigma }_0(n)$ to liczba dzielników danej liczby, znana również jako funkcja τ.

Liczby spełniające równanie $\sigma (n)=2n$ nazywa się liczbami doskonałymi, nierówność $\sigma (n)>2n$ nadmiarowymi, a nierówność $\sigma (n)<2n$ deficytowymi.

Twierdzenie

Jeśli $n\in \mathbb{N}$ ma rozkład na czynniki pierwsze postaci $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k},$ to

$\sigma (n)=\frac{p_1^{{\alpha }_1+1}-1}{p_1-1}\cdot \frac{p_2^{{\alpha }_2+1}-1}{p_2-1}\cdot \dots \cdot \frac{p_k^{{\alpha }_k+1}-1}{p_k-1}.$

Dowód

Każdy dzielnik naturalny liczby $n$ można przestawić w postaci:

$d=p_1^{{\lambda }_1}{p}_2^{{\lambda }_2}\dots p_k^{{\lambda }_k},$

gdzie:

Szablon:Wzór

Ponieważ różnym układom liczb ${\lambda }_1\dots {\lambda }_k$ spełniającym Szablon:LinkWzór odpowiadają różne dzielniki $n,$ więc:

Szablon:Wzór

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie układy liczb całkowitych spełniające Szablon:LinkWzór.

Każdy składnik sumy Szablon:LinkWzór występuje dokładnie raz, dlatego tę sumę można „zwinąć” do postaci iloczynowej:

$\sigma (n)=(1+p_1^1+\dots +p_1^{{\alpha }_1})(1+p_2^1+\dots +p_2^{{\alpha }_2})\dots (1+p_k^1+\dots +p_k^{{\alpha }_k}).$

Z kolei $i$-ty czynnik powyższego iloczynu jest skończoną sumą szeregu geometrycznego o ilorazie $p_i,$ więc

$1+p_i^1+\dots +p_i^{{\alpha }_i}=\frac{p_i^{{\alpha }_i+1}-1}{p_i-1}.$

Stąd teza.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę