Grupa multiplikatywna

• w teorii grup: grupa w zapisie multiplikatywnym – grupa, w której działanie grupowe zapisywane jest za pomocą znaku $\cdot ,$ branie elementu odwrotnego przez ⁻¹, element neutralny zaś oznaczony jest przez $1$;
• w teorii pierścieni, ciał, algebr grupa multiplikatywna $(R^{*},\cdot )$ pierścienia, ciała, algebry łącznej $R$ to zbiór elementów odwracalnych pierścienia, ciała, algebry łącznej z działaniem mnożenia; często używane oznaczenia: $R^{*},$ $R^{\cdot },$ $U(R);$

  $R^{*}=\{x\in R:{\mathrm{\exists }}_{y\in R}[xy=1]\};$

$R$ jest pierścieniem z dzieleniem (algebrą łączną z dzieleniem) wtedy i tylko wtedy, gdy $R^{*}=R\setminus \{0\};$ w przeciwnym razie zbiór $R^{*}$ jest mniejszy, np. ${\mathbb{Z}}^{*}=\{1,-1\};$

• algebraiczny torus $G{L}_1$ jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego pojęcia snopa ${𝔾}_m,$ ale pojawia się często poza geometrią algebraiczną pod nazwą grupa multiplikatywna; jest rozmaitością grupową.
• w geometrii algebraicznej: snop grup abelowych ${𝔾}_m$ reprezentowany przez schemat grupowy $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathbb{Z}[X,X^{-1}];$ grupą przekrojów tego snopa nad afinicznym zbiorem otwartym $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}R$ jest grupa homomorfizmów pierścieni $\mathbb{Z}[X,X^{-1}]\to R$; ta grupa jest naturalnie izomorficzna z grupą $R^{*}:$ homomorfizmowi $f:\mathbb{Z}[X,X^{-1}]\to R$ odpowiada jednoznacznie element $f(X),$ przy czym $f(X)f(X^{-1})=1;$

Sam schemat $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathbb{Z}[X,X^{-1}]$ też jest nazywany grupą multiplikatywną.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-04-16].
• Szablon:Otwarty dostęp Multiplicative group Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-11].