Dyfeomorfizm

Obraz siatki prostokątnej na kwadracie w przekształceniu dyfeomorficznym kwadratu na siebie. Intuicyjnie: przekształcenie to polega na zdeformowaniu siatki prostokątnej bez rozrywania i klejenia. Każda taka deformacja jest homeomorfizmem. Gdy deformacja ta jest funkcją klasy $C^1$ – a więc jest ciągła i jej pochodna jest ciągła – to funkcja ta jest dyfeomorfizmem. Dyfeomerfizmem nie byłaby deformacja z tworzeniem ostrych zagięć (choć byłby to homeomorfizm).

Dyfeomorfizm – izomorfizm rozmaitości różniczkowych, tj. odwzorowanie bijektywne pomiędzy rozmaitościami różniczkowymi, które jest różniczkowalne oraz takie, iż odwzorowanie do niego odwrotne jest również różniczkowalne.

Definicja

Niech $X$ i $Y$ będą przestrzeniami unormowanymi oraz niech $D$ będzie niepustym, otwartym podzbiorem przestrzeni $X.$

Przekształcenie $F:D\to Y$ nazywane jest dyfeomorfizmem, gdy

1. obraz $F(D)$ jest podzbiorem otwartym w $Y,$
2. $F$ jest bijekcją,
3. $F$ i $F^{-1}$ są klasy $C^1$ (gdzie $F^{-1}:F(D)\to D$ jest funkcją odwrotną do $F$).

Z definicji wynika, że jeśli $F$ jest dyfeomorfizmem, to $F$ i $F^{-1}$ są odwzorowaniami regularnymi.

Gdy $X={ℝ}^m,$ $Y={ℝ}^k,$ to dyfeomorfizmy są po prostu zanurzeniami homeomorficznymi klasy $C^1$ o różniczce maksymalnego rzędu, których funkcja odwrotna jest klasy $C^1$ w obrazie.

W niektórych publikacjach od dyfeomorfizmu wymaga się, by był funkcją nieskończenie wiele razy różniczkowalną.

Dyfeomorfizm przywiedlny

Niech $D$ będzie otwartym podzbiorem ${ℝ}^m.$ Mówi się, że dyfeomorfizm

$\mathrm{\Phi }=({\phi }_1,\dots ,{\phi }_m):D\to {ℝ}^m$

jest przywiedlny, gdy istnieją takie $i,j⩽m,$ że

${\phi }_i(x_1,\dots ,x_m)=x_j$ dla $(x_1,\dots ,x_m)\in D.$

Dyfeomorfizmy przywiedlne znajdują zastosowanie w dowodzie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a.

Dyfeomorfizm zachowujący orientację

Funkcja

$\phi :(a,b)\to (\alpha ,\beta )$

jest dyfeomorfizmem, gdy jest taką bijekcją klasy $C^1,$ że

${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$ dla $t\in (a,b)$

(por. definicję dla $X=Y={ℝ}^m$). Dyfeomorfizm $\phi$ zachowuje orientację (osi liczbowej), jeśli

${\phi }^{\prime }>0$

i zmienia orientację w przeciwnym wypadku, tzn. gdy

${\phi }^{\prime }<0.$

Prawdziwe jest następujące twierdzenie teorii hiperpowierzchni dla dyfeomorfizmów zachowujących orientację:

Twierdzenie

Niech $G$ będzie otwartym podzbiorem ${ℝ}^n,$ $\mathrm{\Gamma }:[a,b]\to G$ będzie drogą kawałkami gładką oraz $\phi :(a,b)\to (\alpha ,\beta )$ będzie dyfeomorfizmem. Wówczas dla każdej formy $\mathrm{\Omega }\in F_0^1(G;Y)$

$\underset{\mathrm{\Gamma }\circ \phi }{\int }\mathrm{\Omega }=\epsilon (\phi )\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\mathrm{\Omega },$

gdzie:

$\epsilon (\phi )=+1,$ gdy $\phi$ zachowuje orientację,

$\epsilon (\phi )=-1,$ gdy $\phi$ zmienia orientację.

Grupa dyfeomorfizmów

Złożenie dyfeomorfizmów jest dyfeomorfizmem. Automorfizm rozmaitości różniczkowej $M$ jest dyfeomorfizmem rozmaitości $M$ na siebie. Za pomocą działania składania automorfizmów można utworzyć na rozmaitości $M$ grupę automorfizmów. Grupę tę oznacza się symbolem $\mathrm{Diff}(M).$

Ważne dyfeomorfizmy

Dyfeomorfizm biegunowy

Niech $B=(0,+\mathrm{\infty })\times (0,2\pi )\subset {ℝ}^2.$ Funkcja określona wzorem

$b(r,\varphi )=(r\cdot \cos \varphi ,r\cdot \sin \varphi )$

przeprowadza $B$ na obszar ${ℝ}^2\setminus \{(x,0)\in {ℝ}^2:x⩾0\}.$ Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne biegunowe. Jakobian tego przekształcenia $J_B=r.$

Dyfeomorfizm sferyczny

Niech $S=(0,+\mathrm{\infty })\times (0,2\pi )\times (0,\pi )\subset {ℝ}^3.$ Funkcja określona wzorem

$s(r,\varphi ,\theta )=(r\cdot \cos \varphi \cdot \sin \theta ,r\cdot \sin \varphi \cdot \sin \theta ,r\cdot \cos \theta )$

przeprowadza zbiór $S$ na zbiór ${ℝ}^3\setminus \{(x,y,z)\in {ℝ}^3:x⩽0,y=0\}.$ Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne sferyczne. Jakobian tego przekształcenia $J_S=r^2\sin \theta .$

Dyfeomorfizm walcowy

Niech $W=(0,+\mathrm{\infty })\times (0,2\pi )\times ℝ\subset {ℝ}^3.$ Funkcja określona wzorem

$w(\rho ,\varphi ,z)=(\rho \cdot \cos \varphi ,\rho \cdot \sin \varphi ,z)$

przeprowadza $W$ na obszar ${ℝ}^3\setminus \{(x,y,z)\in {ℝ}^3:x⩽0,y=0\}.$ Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne walcowe. Jakobian tego przekształcenia $J_W=\rho .$

Twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie

Niech $X$ i $Y$ będą przestrzeniami Banacha, $D$ będzie niepustym, otwartym podzbiorem $X$ oraz będzie dane odwzorowanie $F:D\to Y$ klasy $C^1.$ Jeśli $F$ jest różniczkowalne w punkcie $x_0\in D$ oraz pochodna ta jest izomorfizmem (liniowym) $X$ na $Y,$ to istnieje takie otoczenie $U\subseteq D$ punktu $x_0,$ że odwzorowanie $F{|}_U$ jest dyfeomorfizmem.

Prostym wnioskiem z twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie jest fakt, iż odwzorowanie regularne przestrzeni Banacha jest odwzorowaniem otwartym. Twierdzenie to wykorzystywane jest także dla dowodu twierdzenia o funkcji uwikłanej.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę