Układ współrzędnych walcowych

Walcowy układ współrzędnych

Walcowy układ współrzędnych (cylindryczny układ współrzędnych) – układ współrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Posługiwanie się układem cylindrycznym jest korzystne gdy trajektoria ruchu ma osiową (cylindryczną) symetrię.

Układ cylindryczny tworzony jest przez trzy wersory ${\hat{n}}_{\rho },$ ${\hat{n}}_{\varphi },$ ${\hat{n}}_z,$ które zmieniają swoją orientację w przestrzeni w zależności od ruchu punktu $P$. Każdy punkt $P$ przestrzeni zapisuje się w postaci trzech tzw. współrzędnych cylindrycznych $(\rho ,\varphi ,z),$ gdzie poszczególne składowe wyrażają się następująco:

$\rho$ – promień cylindra przeprowadzonego przez punkt $P$,

$\varphi$ – kąt między osią $x$ układu nieruchomego a płaszczyzną, w której znajduje się wektor wodzący $r(t)$ i kierunek ${\hat{n}}_z$,

$z$ – wysokość (ta sama współrzędna jak dla układu nieruchomego).

Można wyprowadzić wzór: $r(t)=\rho {\hat{n}}_{\rho }+z{\hat{n}}_z$.

Określenie prędkości następuje poprzez obliczenie pochodnej $r:$ $v(t)=\frac{dr}{dt}=\dot{\rho }{\hat{n}}_{\rho }+\rho {\dot{\hat{n}}}_{\rho }+\dot{z}{\dot{\hat{n}}}_z$ (gdzie $\stackrel{}{\dot{}}$ oznacza pierwszą pochodną względem czasu). Wersor ${\hat{n}}_z$ nie zmienia swojej orientacji i dlatego $\dot{{\hat{n}}_z}=0,$ co pozwala na pominięcie go w powyższym równaniu. Wersor ${\dot{\hat{n}}}_{\rho }$ należy wyrazić poprzez niezmienne w czasie wersory ${\hat{n}}_x$ i ${\hat{n}}_y$ układu nieruchomego.

${\hat{n}}_{\rho }={\hat{n}}_x\cos \varphi +{\hat{n}}_y\sin \varphi$,

${\hat{n}}_{\varphi }=-{\hat{n}}_x\sin \varphi +{\hat{n}}_y\cos \varphi$.

Zatem:

$\dot{{\hat{n}}_{\rho }}=-{\hat{n}}_x\sin \varphi \dot{\varphi }+{\hat{n}}_y\cos \varphi \dot{\varphi }=\dot{\varphi }{\hat{n}}_{\varphi }$,

$\dot{{\hat{n}}_{\varphi }}=-{\hat{n}}_x\cos \varphi \dot{\varphi }-{\hat{n}}_y\sin \varphi \dot{\varphi }=-\dot{\varphi }{\hat{n}}_{\rho }$.

Stąd prędkość:

$v(t)=\dot{\rho }{\hat{n}}_{\rho }+\rho \dot{\varphi }{\hat{n}}_{\varphi }+\dot{z}{\hat{n}}_z$,

a jej długość:

$|v|=\sqrt{(\dot{\varphi }{)}^2+(\rho \dot{\varphi }{)}^2+(\dot{z}{)}^2}$.

Przyspieszenie:

$a(t)=\frac{dv}{dt}=\ddot{\rho }{\hat{n}}_{\rho }+\dot{\rho }{\dot{\hat{n}}}_{\rho }+\dot{\rho }\dot{\varphi }{\hat{n}}_{\varphi }+\rho \ddot{\varphi }{\hat{n}}_{\varphi }+\rho \dot{\varphi }{\dot{\hat{n}}}_{\varphi }+\ddot{z}{\hat{n}}_z={\hat{n}}_{\rho }(\ddot{\rho }-\rho (\dot{\varphi }{)}^2)+{\hat{n}}_{\varphi }(2\dot{\rho }\dot{\varphi }+\rho \ddot{\varphi })+{\hat{n}}_z\ddot{z}$

$|a|=\sqrt{(\ddot{\rho }-\rho (\dot{\varphi }{)}^2{)}^2+(2\dot{\rho }\dot{\varphi }+\rho \ddot{\varphi }{)}^2+(\ddot{z}{)}^2}$.

Przykład zastosowania

Za pomocą współrzędnych cylindrycznych można bardzo łatwo opisać na przykład jednostajny ruch po okręgu:

$\rho =R=const$,

$\varphi =\omega t,\omega =const$,

$z=0$

oraz:

$r(t)=R{\hat{n}}_{\rho }$,

$v(t)=\omega R{\hat{n}}_{\varphi }$,

$a(t)=-{\omega }^{2}R{\hat{n}}_{\rho }$.

Zobacz też

Inne układy współrzędnych

• współrzędne biegunowe
• współrzędne sferyczne
• współrzędne uogólnione
• współrzędne krzywoliniowe

Szczególne układy współrzędnych

• współrzędne astronomiczne
• współrzędne galaktyczne
• współrzędne geodezyjne
• współrzędne geograficzne

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Cylinder coordinates Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].