Macierze gamma

Szablon:Konwencje Macierze γ, macierze Diraca – zbiór czterech macierzy zespolonych $4\times 4,$ $\{{\gamma }^0,{\gamma }^1,{\gamma }^2,{\gamma }^3\},$ stosowanych w relatywistycznej mechanice kwantowej.

Macierze gamma ${\gamma }^0,{\gamma }^1,{\gamma }^2,{\gamma }^3$

Macierze $\gamma$ są zdefiniowane za pomocą 16 równań

$\{\begin{array}{cc}{\left({\gamma }^0\right)}^2& =I\\ {\gamma }^i{\gamma }^0+{\gamma }^0{\gamma }^i=\{{\gamma }^i,{\gamma }^0\}& =0\\ {\gamma }^i{\gamma }^j+{\gamma }^j{\gamma }^i=\{{\gamma }^i,{\gamma }^j\}& =2g^{ij}I\end{array}$

gdzie:

$i,$ $j$ = $1,2,3$

$g^{ij}$ – element $ij$ tensora metrycznego $g$ czasoprzestrzeni $g=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$ (przy czym np. $g^{00}=1$)

$I$ – macierz jednostkowa 4 × 4

$\{A,B\}$ – antykomutator A i B.

Powyższe warunki można zapisać w równoważnej formie:

$\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}={\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }+{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }=2g^{\mu \nu }I,$

gdzie:

$\mu ,\nu =0,1,2,3.$

Warunki określające macierze gamma wyprowadza się żądając m.in., by równanie Diraca spełniało jednocześnie równanie Kleina-Gordona. Warunki te nie definiują konkretnej postaci macierzy $\gamma$ – każda reprezentacja spełniająca je jest dobra.

Powyższe macierze zapisane są z górnymi wskaźnikami. Nazywa się je kontrawariantnymi macierzami gamma.

Macierze ${\gamma }_0,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$

Kowariantne macierze gamma są zdefiniowane następująco:

${\gamma }_{\mu }=g_{\mu \nu }{\gamma }^{\nu }=\{{\gamma }^0,-{\gamma }^1,-{\gamma }^2,-{\gamma }^3\},$

gdzie $\mu ,\nu =0,1,2,3$

i sumacyjna reguła Einsteina jest tu założona.

Reprezentacje macierzy gamma

Najpopularniejszymi reprezentacjami są:

Reprezentacja Pauliego-Diraca

Zaproponowana przez Wolfganga Pauliego i Paula Diraca – macierze γ wyrażają się tu przez macierze Pauliego:

${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& -I\end{array}\right),$

${\gamma }^i=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_i\\ -{\sigma }_i& 0\end{array}\right),$

gdzie $I$ oznacza tu macierz jednostkową 2 × 2. Uwzględniając postacie macierzy Pauliego otrzymamy:

$\begin{array}{cccc}{\gamma }^0& =\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right),& {\gamma }^1& =\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\end{array}\right),\\ {\gamma }^2& =\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& -i\\ 0& 0& i& 0\\ 0& i& 0& 0\\ -i& 0& 0& 0\end{array}\right),& {\gamma }^3& =\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right).\end{array}$

Macierz ${\gamma }_0$ jest zawsze macierzą hermitowską. Macierze ${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$ w tej reprezentacji są macierzami antyhermitowskimi, lecz nie jest tak w każdej reprezentacji.

Reprezentacja Weyla (chiralna)

Stosowana często w kwantowej teorii pola ze względu na wygodną postać operatorów rzutu na składowe spinora w tej reprezentacji:

${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}0& I\\ I& 0\end{array}\right),$

${\gamma }^i=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_i\\ -{\sigma }_i& 0\end{array}\right).$

Macierz γ⁵

Macierz γ⁵ jest zdefiniowana jako

${\gamma }^5=i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3,$

gdzie $i$ oznacza jednostkę urojoną; macierz ta ma różną postać w zależności od reprezentacji. Np.

${\gamma }^5=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right)$ w reprezentacji Diraca.

Właściwości:

• jest to macierz hermitowska, tj.

  $({\gamma }^5{)}^{†}={\gamma }^5,$

• jej wartości własne są równe $\pm 1,$ gdyż

  $({\gamma }^5{)}^2=I$

• antykomutuje z czterema macierzami gamma, tj.

  $\{{\gamma }^5,{\gamma }^{\mu }\}={\gamma }^5{\gamma }^{\mu }+{\gamma }^{\mu }{\gamma }^5=0.$

Pomimo że używa się tu symbolu gamma, macierz ta nie należy do algebry Clifforda Cℓ_1,3(R) – zaś macierze ${\gamma }^0,{\gamma }^1,{\gamma }^2,{\gamma }^3$ należą do tej algebry. Ponadto liczba 5 użyta w jej oznaczeniu jest pozostałością starszej notacji, w której macierz ${\gamma }^0$ oznaczano jako ${\gamma }^4.$

Macierze alfa, beta Diraca

Równanie Diraca można przekształcić do postaci analogicznej do równania Schrödingera, wprowadzając macierze

${\alpha }^i={\gamma }^0{\gamma }^i,\text{dla}i=1,2,3$

$\beta ={\gamma }^0.$

Zachodzi też analogiczna odwrotna zależność:

${\gamma }^i={\gamma }^0{\alpha }^i\text{dla}i=1,2,3.$

W reprezentacji Diraca macierze te mają postać

${\alpha }^i=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_i\\ {\sigma }_i& 0\end{array}\right),$

$\beta =\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& -I\end{array}\right).$

Macierze alfa, beta Diraca są macierzami hermitowskimi.

Zobacz też

• macierze Pauliego
• równanie Diraca

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld