Alternatywa Fredholma

Szablon:Spis treści Alternatywa Fredholma – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie dotyczące istnienia i jednoznaczności równań liniowych w przestrzeniach Banacha. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Erika Fredholma, który udowodnił je w kontekście równań całkowych na przestrzeni Hilberta.

Alternatywa Fredholma jest uogólnieniem na nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha następującego faktu dotyczącego algebry liniowej. Dla danego przekształcenia liniowego $A : V \to V$ na $n$ -wymiarowej przestrzeni liniowej zachodzi dokładnie jedna z możliwości:

$A$ jest odwzorowaniem suriektywnym,
dla każdego $y \in V$ istnieje taki element $x \in V,$ że $A x = y;$
$A$ nie jest odwzorowaniem różnowartościowym,
istnieje taki niezerowy element $v \in V,$ że $A v = 0 .$

Wersja podstawowa

Niech $X$ będzie zespoloną przestrzenią Banacha, $T : X \to X$ będzie liniowym operatorem zwartym oraz $λ$ niezerową liczbą zespoloną. Wówczas równanie

T x - λ x = y

ma rozwiązanie dla każdego $y \in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym rozwiązaniem równania

T x - λ x = 0

jest $x = 0$ Szablon:Odn. Innymi słowy, równanie $y = T x - λ x$ ma rozwiązanie dla każdego $y \in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy $λ$ nie jest wartością własną operatora $T .$

Oznaczając $S = T - λ \cdot I_{X},$ gdzie $I_{X}$ to operator identycznościowy na $X,$ powyższe jest równoważne temu, że

albo operator $S$ jest suriektywny,
albo operator $S$ nie jest różnowartościowy.

Dowód

Przypadek, gdy $λ$ nie jest wartością własną operatora $T : X \to X .$ W tym przypadku istnieje taka liczba $c > 0,$ że operator $T - λ \cdot I_{X}$ jest ograniczony z dołu przez $c,$ tj.

‖ T x - λ x ‖ ⩾ c ‖ x ‖ (x \in X) .

Rzeczywiście, ze względu na dodatnią jednorodność normy wystarczy wykazać powyższe stwierdzenie dla wektorów o normie 1. Gdyby tak nie było, istniałby ciąg wektorów jednostkowych

(x_{n})

w

X,

że ciąg

(T x_{n} - λ x_{n})

jest zbieżny do zera. Ponieważ

‖ λ x_{n} ‖ = | λ |,

infimum norm elementów

y_{n} = T x_{n}

jest dodatnie. Ponieważ operator

T

jest zwarty, ciąg

(y_{n})

ma podciąg

(y_{n_{k}})

zbieżny do pewnego niezerowego elementu

y \in X .

Z uwagi na to, że ciąg

(T x_{n} - λ x_{n})

jest zbieżny do zera, ciąg

(T y_{n_{k}} - λ y_{n_{k}})

jest również zbieżny do zera, a więc z ciągłości,

T y - λ y = 0,

co przeczy temu, że

λ

nie jest wartością własną

T .

Ponieważ operator

T - λ \cdot I_{X}

jest ograniczony z dołu, jest on izomorfizmem na swój obraz. By udowodnić, że dla każdego

y \in X

istnieje takie

x \in X,

że

y = T x - λ x,

należy uzasadnić, że cała przestrzeń

X

jest obrazem operatora

T - λ \cdot I_{X} .

Gdyby tak nie było, to dla każdej liczby naturalnej

m

podprzestrzeń

X_{m}

będąca obrazem operatora

(T - λ \cdot I_{X})^{m}

byłaby właściwa (i domknięta). Z lematu Riesza wynikałoby istnienie takich wektorów

x_{m}

w

X

o normie 1, że odległość

x_{m}

od

X_{m}

wynosi co najmniej 1/2.

Niech

m < n

będą liczbami naturalnymi. Wówczas

T x_{n} - λ x_{n},

jak i

T x_{m} - λ x_{m}

należą do

X_{m + 1},

tj.

T x_{m} - T x_{n} \in λ x_{m} + X_{m + 1} .

Ponieważ odległość między

x_{m}

od

X_{m}

wynosi co najmniej 1/2 zachodzi oszacowanie

‖ T x_{m} - T x_{n} ‖ ⩾ \frac{| λ |}{2},

które przeczy zwartości

T,

gdyż ciąg

(T x_{n})

nie ma podciągu zbieżnego.

Przypadek, gdy $λ$ jest wartością własną operatora $T : X \to X$ implikuje, że operator $T - λ \cdot I_{X}$ nie jest różnowartościowy ponieważ (niezerowa) wartość własna odpowiadająca $λ$ należy do jego jądra. W tym wypadku obrazem operatora $T - λ \cdot I_{X}$ nie może być cała przestrzeń $X$ (tj. operator ten nie jest suriektywny). Istotnie, z twierdzenia Schaudera o operatorze sprzężonym wynika, że operator $T^{*}$ jest również zwarty. Ponadto $(T - λ \cdot I_{X})^{*} = T^{*} - λ \cdot I_{X^{*}} .$ Gdyby $T - λ \cdot I_{X}$ był suriektywny, operator $T^{*} - λ \cdot I_{X}^{*}$ byłby różnowartościowy, tj. w szczególności $λ$ nie byłaby jego wartością własną. Z udowodnionej wyżej implikacji wynikałoby, że operator $T^{*} - λ \cdot I_{X^{*}}$ byłby w tym wypadku suriektywny. Oznaczałoby to, że operator $T^{* *} - λ \cdot I_{X}^{* *}$ jest różnowartościowy. Jest to jednak sprzeczność, ponieważ:

κ_{X} (T - λ \cdot I_{X}) = (T^{* *} - λ \cdot I_{X^{* *}}) |_{κ_{X} (X)},

gdzie

κ_{X} : X \to X^{* *}

oznacza kanoniczne włożenie w drugą przestrzeń sprzężoną.

Wersja ogólna

Pod pojęciem alternatywy Fredholma niektórzy rozumieją następujące twierdzenie, które opisuje wymiar jądra operatora $I_{X} - T$ z jego obrazem dla operatora zwartego $T : X \to X$ na przestrzeni Banacha $X$ Szablon:Odn.

Niech $T : X \to X$ będzie operatorem zwartym na zespolonej przestrzeni Banacha $X .$ Wówczas:

jądro operatora $I_{X} - T$ jest skończenie wymiarowe,
obraz operatora $I_{X} - T$ jest domknięty, ponadto

i m (I_{X} - T) = \ker (I_{X^{*}} - T^{*})^{⊥},

operator $I_{X} - T$ jest różnowartościowy wtedy i tylko wtedy, gdy jest on suriektywny (tj. jego obrazem jest cała przestrzeń $X$ ),
$\dim \ker (I_{X} - T) = \dim \ker (I_{X^{*}} - T^{*}) .$

Zobacz też

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

Haim Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011.
L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. Szablon:ISBN.
Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vincente Montesinos Santalucía, Jan Pelant, Václav Zizler, Functional Analysis and Infinite-dimensional Geometry, CMS Books in Mathematics, 8, New York: Springer-Verlag (2001), Szablon:ISBN.