Lemat Riesza

Szablon:Inne znaczenia Lemat Riesza – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, że jeżeli $Y$ jest właściwą, domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni unormowanej $X$ to dla każdego $0 < α < 1$ istnieje taki element $x \in X,$ że

‖ x ‖ = 1

oraz

‖ x - y ‖ ⩾ α

dla wszelkich $y \in Y .$ Innymi słowy

d (x, Y) ⩾ α,

gdzie $d (x, Y)$ oznacza odległość punktu $x$ od podprzestrzeni $Y .$

Twierdzenie udowodnione po raz pierwszy w 1918 przez Frigyesa Riesza w przypadku przestrzeni Hilberta^[1]. Udowodniono również wersję lematu Riesza dla przestrzeni nad ciałami z nietrywialnymi waluacjami rzędu 1^[2].

Dowody

Ponieważ $Y$ jest domkniętą, właściwą podprzestrzenią przestrzeni $X,$ z twierdzenia Hahna-Banacha wynika, że jest ona zawarta w jądrze funkcjonału liniowego $f$ o normie 1 na przestrzeni $X,$ tj. $f (y) = 0$ dla wszelkich $y \in Y .$ Niech $x \in X$ będzie takim elementem o normie 1, że $f (x) ⩾ α .$ Wówczas

‖ x - y ‖ ⩾ | f (x) - f (y) | = | f (x) - 0 | = | f (x) | ⩾ α (y \in Y),

co kończy dowódSzablon:Odn.

Niech $v \in X ∖ Y$ oraz niech

a = d (v, Y) = \inf_{y \in Y} ‖ v - y ‖ .

Ponieważ podprzestrzeń

Y

jest domknięta,

a > 0 .

Z definicji infimum wynika istnienie takiego elementu

y_{0} \in Y,

że

a < ‖ v - y_{0} ‖ < \frac{a}{α} .

Niech

x = c (v - y_{0}),

gdzie

c = \frac{1}{‖ v - y_{0} ‖} .

Wówczas

x

ma normę 1. Ponadto, dla każdego

y \in Y

‖ x - y ‖ = ‖ c (v - y_{0}) - y ‖ = c ‖ v - (y_{0} + \frac{1}{c} y) ‖ .

W szczególności,

y_{0} + \frac{1}{c} y \in Y,

a zatem

‖ v - (y_{0} + \frac{1}{c} y) ‖ ⩾ a .

Stąd,

‖ x - y ‖ = c ‖ v - (y_{0} + \frac{1}{c} y) ‖ ⩾ c a = \frac{a}{‖ v - y_{0} ‖} ⩾ \frac{a}{a / α} = α,

co kończy dowódSzablon:Odn.

Uwagi

W przypadku gdy $X$ jest przestrzenią refleksywną, teza lematu Riesza zachodzi również dla $α = 1 .$ Rzeczywiście, podprzestrzeń $Y$ jest zawarta w jądrze funkcjonału $f$ o normie 1, ale funkcjonały liniowe i ciągłe na przestrzeniach refleksywnych osiągają swoją normę, tj. dla danego $f \in X^{*}$ o normie 1, istnieje taki element $x \in X,$ że $f (x) = 1 .$ Wówczas

‖ x - y ‖ ⩾ | f (x) - f (y) | = | f (x) - 0 | = | f (x) | = 1 (y \in Y) .

Prawdziwość tezy lematu Riesza dla

α

= 1 charakteryzuje przestrzenie refleksywne. Rzeczywiście, jeżeli

X

jest przestrzenią nierefleksywną to z twierdzenia Jamesa wynika istnienie takiego funkcjonału

f

na

X

o normie 1, który nie osiąga swojej normy. Niech

Y

będzie jądrem

f .

Wówczas

Y

jest domkniętą, właściwą podprzestrzenią przestrzeni

X .

Ponieważ

f

nie osiąga swojej normy, nie istnieje żaden taki element

x \in X

o normie 1, że

d (x, Y) = 1

Szablon:Odn.

Ze zwartości kuli jednostkowej w skończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej wynika, że teza lematu Riesza zachodzi $α = 1$ w przypadku, gdy podprzestrzeń $Y$ jest skończenie wymiarowa. Rzeczywiście, podprzestrzeń $Y$ jest domknięta, będąc skończenie wymiarową podprzestrzenią $X .$ Niech $z \in X ∖ Y .$ Wówczas $a = d (z, Y) > 0 .$ Stąd $d (a^{- 1} z,$ $a^{- 1} Y) = d (a^{- 1} z, Y) = 1 .$ Wynika stąd istnienie takiego ciągu $(y_{n})$ elementów przestrzeni $Y,$ że

\lim_{n \to \infty} ‖ y_{n} - a^{- 1} z ‖ = 1 .

Ponieważ ciąg

(y_{n})

jest ograniczony, a

Y

skończenie wymiarowa, z twierdzenia Heinego-Borela wynika istnienie podciągu

(y_{n} k)

ciągu

(y_{n}),

który jest zbieżny do pewnego

y \in Y .

Niech

x = y - a^{- 1} z .

Wówczas

‖ x ‖ = ‖ y - a^{- 1} z ‖ = \lim_{k \to \infty} ‖ y_{n_{k}} - a^{- 1} z ‖ = 1 .

Ponadto,

d (x, Y) = 1,

co kończy dowódSzablon:Odn Szablon:Odn.

Wzmocnieniem tak sformułowanej wersji lematu Riesza jest twierdzenie Krejna-Krasnoselskiego-Milmana.

Zastosowanie: niezwartość kuli jednostkowej nieskończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej

Lemat Riesza używa się do dowodu następującej charakteryzacji skończenie wymiarowych przestrzeni unormowanych:

Przestrzeń unormowana jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy jej kula jednostkowa jest zwarta.

Zwartość kul w przestrzeniach skończenie wymiarowych wynika z twierdzenia Heinego-Borela. Implikację przeciwną dowodzi się przez kontrapozycję, używając lematu Riesza.

Niech

X

będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią unormowaną oraz niech

x_{1} \in X

będzie wektorem o normie 1. Z lematu Riesza zastosowanego do

Y_{1} = span {x_{1}}

wynika istnienie takiego wektora jednostkowego

x_{2} \in X,

że

d (x_{2}, Y_{1}) ⩾ 1 / 2 .

Niech

Y_{2} = span {x_{1}, x_{2}} .

Z lematu Riesza zastosowanego do

Y_{2}

wynika istnienie takiego wektora jednostkowego

x_{3} \in X,

że

d (x_{3}, Y_{2}) ⩾ 1 / 2 .

Kontynuując ten proces rekurencyjnie, otrzymuje się ciąg wektorów jednostkowych

(x_{n})

w

X

o tej własności, że odległości pomiędzy różnymi wyrazami tego ciągu wynoszą co najmniej 1/2. Ciąg ten zatem nie ma podciągu zbieżnego, a więc kula jednostkowa przestrzeni

X

nie jest zwartaSzablon:Odn Szablon:Odn.

Wzmocnieniami udowodnionego wyżej wniosku z lematu Riesza są twierdzenie Kottmana i twierdzenie Eltona-Odella.

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

↑ Frigyes Riesz, Über lineare Funktionalgleichungen, „Acta Math.”, 41 (1918), s. 71–98.
↑ Edward Beckenstein, Lawrence Narici, Riesz’s Lemma in Non-Archimedean Spaces, „J. London Math. Soc.” 3 (1971), s. 501–506.

[1] Frigyes Riesz, Über lineare Funktionalgleichungen, „Acta Math.”, 41 (1918), s. 71–98.

[2] Edward Beckenstein, Lawrence Narici, Riesz’s Lemma in Non-Archimedean Spaces, „J. London Math. Soc.” 3 (1971), s. 501–506.

[1]

[2]

Lemat Riesza

Spis treści

Dowody

Uwagi

Zastosowanie: niezwartość kuli jednostkowej nieskończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej

Przypisy

Bibliografia

Menu nawigacyjne

Lemat Riesza

Dowody

Uwagi

Zastosowanie: niezwartość kuli jednostkowej nieskończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej

Przypisy

Bibliografia

Menu nawigacyjne

Szukaj