Równanie całkowe Fredholma

Równanie całkowe Fredholma – równanie całkowe postaci

$u(x)-\mu \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }k(x,y)u(y)dy=v(x),x\in \mathrm{\Omega }\text{(Fr)},$

gdzie funkcje $k,v$ oraz liczba $\mu$ są ustalone natomiast funkcja $u$ jest szukana.

Zwykle o zbiorze $\mathrm{\Omega }$ zakłada się, że jest otwartym i spójnym podzbiorem przestrzeni ${ℝ}^n.$ Funkcję $k$ nazywamy jądrem. Nakładając na jądro pewne założenia (np. co do całkowalności) można otrzymać wyniki dotyczące istnienia rozwiązań równania Fredholma. Jednym z nich jest twierdzenie Fredholma:

Twierdzenie Fredholma

Niech $k\in L^2(\mathrm{\Omega }\times \mathrm{\Omega }).$ Wówczas

• Równanie $\text{(Fr)}$ ma dla każdej prawej strony $v\in L^2(\mathrm{\Omega })$ niezerowe rozwiązanie $u\in L^2(\mathrm{\Omega })$ wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym rozwiązaniem równania

$u(x)-\mu \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }k(x,y)u(y)dy=0,({\text{Fr}}_0)$

jest funkcja tożsamościowo równa zeru.

• Jeśli $({\text{Fr}}_0)$ ma niezerowe rozwiązanie $u\in L^2(\mathrm{\Omega }),$ to istnieje również niezerowe rozwiązanie $u\in L^2(\mathrm{\Omega })$ równania

$u(x)-\bar{\mu }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\overline{k(y,x)}u(y)dy=0,\overline{({\text{Fr}}_0)},$

ponadto, rozwiązania obu tych równań tworzą skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe o równych wymiarach.

• Jeżeli równanie $({\text{Fr}}_0)$ ma niezerowe rozwiązanie $u\in L^2(\mathrm{\Omega }),$ to równanie $\text{Fr}$ ma rozwiązanie $u\in L^2(\mathrm{\Omega })$ dla danej prawej strony $v\in L^2(\mathrm{\Omega })$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }v(x)\overline{u(x)}dx=0$

dla każdego $u\in L^2(\mathrm{\Omega })$ spełniającego równanie $\overline{({\text{Fr}}_0)}.$

• Zbiór wszystkich liczb $\mu$ dla których $({\text{Fr}}_0)$ ma niezerowe rozwiązanie $u\in L^2(\mathrm{\Omega })$ jest albo skończony albo tworzy ciąg $({\mu }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ taki, że

$|{\mu }_n|\to \mathrm{\infty }.$

Uwagi o dowodzie

Dowód twierdzenia Fredholma opiera się całkowicie na alternatywie Fredholma oraz następującej obserwacji – jeżeli $k\in L^2(\mathrm{\Omega }\times \mathrm{\Omega })$ oraz

$Au(x)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }k(x,y)u(x)dy$

dla $u\in L^2(\mathrm{\Omega }),$ to

• operator $A:L^2(\mathrm{\Omega })\to L^2(\mathrm{\Omega })$ jest liniowy i ciągły.
• operator $A$ jest zwarty
• operator $A^{\star }$ jest również zwarty oraz

$A^{\star }v(x)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\overline{k(y,x)}v(y)dy,v\in L^2(\mathrm{\Omega })$

Nazwa równania pochodzi od nazwiska szwedzkiego matematyka Fredholma.

Zobacz też

• równanie całkowe Abela
• równanie całkowe Volterry

Bibliografia

• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. Szablon:ISBN.