Operator słabo zwarty

Operator słabo zwarty – operator liniowy $T:X\to Y$ pomiędzy przestrzeniami unormowanymi $X$ i $Y$ o tej własności, że domknięcie obrazu kuli jednostkowej $B$ przestrzeni $X$ jest słabo zwartym podzbiorem przestrzeni $Y.$ Każdy operator słabo zwarty jest ograniczony (a więc ciągły). Pojęcie operatora słabo zwartego definiowane jest czasami dla szerszych klas przestrzeni liniowo-topologicznych.

Rodzina wszystkich operatorów słabo zwartych określonych pomiędzy przestrzeniami Banacha $X$ i $Y$ oznaczana jest często symbolem $𝒲(X,Y)$ (lub $𝒲(X),$ gdy $X=Y$) i jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni wszystkich operatorów ograniczonych z przestrzeni $X$ w przestrzeń $Y.$ Klasa wszystkich operatorów słabo zwartych pomiędzy dowolnymi przestrzeniami jest ideałem operatorowym (w sensie Pietscha). W szczególności, rodzina wszystkich operatorów słabo zwartych na $X$ jest domkniętym ideałem algebry wszystkich operatorów ograniczonych na $X.$

Własności

• Operator ograniczony $T:X\to Y$ jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $T^{**}[X^{**}]$ jest podzbiorem przestrzeni $Y$ (utożsamionej z podprzestrzenią przestrzeni $Y^{**}$). W szczególności, przestrzeń Banacha $X$ jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy operator ograniczony na $X$ jest słabo zwarty.
• Każdy operator zwarty jest słabo zwarty. Przeciwna implikacja na ogół nie zachodzi: operator identycznościowy na nieskończenie wymiarowej przestrzeni refleksywnej jest słabo zwarty, ale nie jest zwarty.
• Twierdzenie Gantmacher: Operator ograniczony działający pomiędzy przestrzeniami Banacha jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator do niego sprzężony jest słabo zwarty.
• Jeżeli $E$ jest $p$-tą przestrzenią Jamesa bądź $E$ jest przestrzenią ${\ell }^{\mathrm{\infty }},$ to $𝒲(E)$ jest jedynym ideałem maksymalnym w algebrze operatorów ograniczonych na $E$.
• Jeżeli $K$ jest przeliczalną zwartą przestrzenią metryczną, to każdy operator słabo zwarty na przestrzeni $C(K)$ jest zwarty.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę