Przestrzeń WCG

Przestrzeń WCG (ang. weakly compactly generated space; przestrzeń generowana przez zbiór słabo zwarty) – przestrzeń Banacha $X$ zawierająca słabo zwarty podzbiór $K$ o tej własności, że podprzestrzeń liniowa generowana przez ten zbiór jest gęsta w $X$ (innymi słowy $K$ jest słabo zwarty i liniowo gęsty), tj.

X = \overline{span K}

Szablon:Odn.

Pojęcie przestrzeni WCG, wprowadzone w 1968 roku przez D. Amira i J. Lindenstraussa^[1], uogólnia jednocześnie pojęcia ośrodkowej przestrzeni Banacha oraz przestrzeni refleksywnej.

Przykłady

Gdy $X$ jest ośrodkową przestrzenią Banacha oraz ${x_{n} : n = 1, 2, \dots}$ jest gęstym podzbiorem jej kuli jednostkowej, to

K = {\frac{1}{n} x_{n} : n = 1, 2, \dots} \cup {0}

jest słabo zwarty oraz liniowo gęsty w

X

(tj. generuje

X

)Szablon:Odn.

W przypadku, gdy $X$ jest refleksywna, domknięta kula jednostkowa $B_{X}$ przestrzeni $X$ jest słabo zwartaSzablon:Odn. Ponieważ $X = span B_{X},$ każda przestrzeń refleksywna jest WCG.
Dla dowolnej przestrzeni z miarą σ-skończoną $(Ω, μ),$ przestrzeń L₁ (μ) jest WCG. Istotnie, niech ${A_{n} : n = 1, 2, 3, \dots}$ będzie rozbiciem $Ω$ na parami rozłączne zbiory $μ$ -mierzalne dla których $0 < μ (A_{n}) < \infty$ dla każdego $n .$ Niech $f : Ω \to [0, 1]$ będzie funkcją daną wzorem $f (x) = (μ (A_{n}) \cdot 2^{n})^{- 1}$ gdy $x \in A_{n}$ dla pewnego $n = 1, 2, 3, \dots$ Funkcja $f$ jest $μ$ -mierzalna oraz $\int_{Ω} f d μ = 1 .$ Miara $d ν = f d μ$ jest miarą probabilistyczną oraz przestrzenie Banacha $L_{1} (μ)$ i $L_{1} (ν)$ są liniowo izometryczne poprzez odwzorowanie $T : L_{1} (μ) \to L_{1} (ν)$ dane wzorem $T g = g / f (g \in L_{1} (μ)) .$

Wystarczy zatem pokazać, że przestrzeń

L_{1} (ν)

jest WCG. Ponieważ miara

ν

jest skończona, z nierówności Höldera wynika istnienie inkluzji przestrzeni Hilberta

L_{2} (ν)

w

L_{1} (ν) .

W szczególności, operator inkluzji

J : L_{2} (ν) \to L_{1} (ν)

jest różnowartościowy i ma gęsty obraz. Ponieważ kula przestrzeni

L_{2} (ν)

jest słabo zwarta, operator

J

jest ograniczony (a więc

J

jest również ciągły jako operator między przestrzeniami

L_{2} (ν)

a

L_{1} (ν)

wyposażonymi w słabe topologie), obraz kuli

L_{2} (ν)

poprzez

J

jest słabo zwarty w

L_{1} (ν)

i liniowo gęsty, a więc

L_{1} (ν)

jest WCG.

Dla dowolnego zbioru $Γ$ przestrzeń c₀ (Γ) z normą supremum jest WCG. Ponadto, każda jej domknięta podprzestrzeń jest również WCG^[2].
Przestrzeń funkcji ciągłych $C (K)$ na przestrzeni zwartej Hausdorffa $K$ jest WCG wtedy i tylko wtedy, gdy $K$ jest przestrzenią Eberleina.
Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Johnsona-Lindenstraussa jest izomorficzna z $ℓ_{1} \oplus ℓ_{2} (c),$ która jest WCG jako suma przestrzeni ośrodkowej i refleksywnej, podczas gdy sama przestrzeń Johnsona-Lindenstraussa nie jest WCG.

Własności

Jeżeli $X$ jest WCG, to domknięta kula jednostkowa jej przestrzeni sprzężonej z *-słabą topologią jest przestrzenią Eberleina.
Kula jednostkowa przestrzeni sprzężonej do podprzestrzeni przestrzeni WCG jest ciągowo zwarta w *-słabej topologiiSzablon:Odn.
Przestrzeń WCG ze słabą topologią jest przestrzenią Lindelöfa^[3].
Przeliczalne $ℓ_{1}$ -sumy oraz dowolne $ℓ_{p}$ -sumy $(p \in (1, \infty))$ i dowolne $c_{0}$ -sumy rodzin przestrzeni typu WCG są WCG.

Dowód. Niech

(E_{i})

będzie rodziną przestrzeni typu WCG oraz niech

K_{i}

będzie zbiorem słabo zwartym generującym

E_{i} .

Bez straty ogólności można założyć, że dla każdego

i

zbiór

K_{i}

jest zbalansowany, tj.

λ K_{i} \subseteq K_{i},

gdy

| λ | ⩽ 1 .

W przypadku, gdy

p \in (1, \infty),

to zbiór

{f \in {(⨁_{i} E_{i})}_{ℓ_{p}} : f (i) \in K_{i}, ‖ f ‖ ⩽ 1}

jest słabo zwarty oraz generuje sumę

(\oplus_{i} E_{i})_{ℓ_{p}} .

Ponieważ formalna identyczność id:

(\oplus_{i} E_{i})_{ℓ_{2}} \to (\oplus_{i} E_{i})_{c_{0}}

jest ciągła oraz ma gęsty obraz, przestrzeń

(\oplus_{i} E_{i})_{c_{0}}

jest również WCG, gdy każdy składnik

E_{i}

jest WCG. Gdy

(E_{n})

jest ciągiem przestrzeni typu WCG (przestrzeń

E_{n}

generowana jest przez zbiór słabo zwarty

K_{n}

), to zbiór

{f \in {(⨁_{n = 1}^{\infty} E_{n})}_{ℓ_{1}} : f (n) \in K_{n}, ‖ f (n) ‖ ⩽ \frac{1}{n^{2}}}

jest słabo zwarty oraz generuje

(\oplus_{n} E_{n})_{ℓ_{1}} .

□

Problem dziedziczności własności WCG na podprzestrzenie

Domknięta podprzestrzeń przestrzeni WCG $X$ nie musi być przestrzenią WCG^[4] nawet w przypadku, gdy $X$ ma bezwarunkową bazę Schaudera bądź druga przestrzeń sprzężona $X^{* *}$ jest WCG^[5]. Jeżeli jednak zarówno przestrzenie $X^{*}$ i $X^{* *}$ są WCG, to $X$ jest również WCGSzablon:Odn.

Algebry Banacha a własność WCG

W przypadku gdy $A$ jest C*-algebrą, następujące własności są równoważne:

$A^{*}$ jest WCG,
$A$ jest ośrodkowa oraz $A^{*}$ ma własność Radona-Nikodýma,
$A^{*}$ jest ośrodkowa.

Gdy $G$ jest lokalnie zwarta przestrzenią Hausdorffa, to następujące warunki są równoważne:

algebra Fouriera $A (G)$ jest WCG,
przestrzeń $C_{0} (G)$ jest WCG,
$G$ spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności^[6].

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

↑ D. Amir, J. Lindenstrauss, The structure of weakly compact sets in Banach spaces, Ann. of Math., 88 (1968), 35–46.
↑ K. John, V. Zizler, Smoothness and its equivalents in weakly compactly generated Banach spaces, J. Funct. Anal., 15 (1974), 1-11.
↑ M. Talagrand, Sur une conjecture de H.H. Corson, Bull. Sci. Math., 99 (1975), 211–212.
↑ H.P. Rosenthal, The heredity problem for weakly compactly generated Banach spaces, Compositio Math., 28 (1974), 83–111.
↑ S.A. Argyros, S. Mercourakis, Examples concerning Heredity Problems of WCG Banach Spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 133, No. 3 (Mar., 2005), 773–785.
↑ E. Kaniuth, A.T. Lau and G. Sschlichting, Weakly compactly generated Banach algebras associated to locally compact groups J. Operator Theory 40 (1998), 323–337.

[1] D. Amir, J. Lindenstrauss, The structure of weakly compact sets in Banach spaces, Ann. of Math., 88 (1968), 35–46.

[2] K. John, V. Zizler, Smoothness and its equivalents in weakly compactly generated Banach spaces, J. Funct. Anal., 15 (1974), 1-11.

[3] M. Talagrand, Sur une conjecture de H.H. Corson, Bull. Sci. Math., 99 (1975), 211–212.

[4] H.P. Rosenthal, The heredity problem for weakly compactly generated Banach spaces, Compositio Math., 28 (1974), 83–111.

[5] S.A. Argyros, S. Mercourakis, Examples concerning Heredity Problems of WCG Banach Spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 133, No. 3 (Mar., 2005), 773–785.

[6] E. Kaniuth, A.T. Lau and G. Sschlichting, Weakly compactly generated Banach algebras associated to locally compact groups J. Operator Theory 40 (1998), 323–337.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Przestrzeń WCG

Spis treści

Przykłady

Własności

Problem dziedziczności własności WCG na podprzestrzenie

Algebry Banacha a własność WCG

Przypisy

Bibliografia

Menu nawigacyjne

Przestrzeń WCG

Przykłady

Własności

Problem dziedziczności własności WCG na podprzestrzenie

Algebry Banacha a własność WCG

Przypisy

Bibliografia

Menu nawigacyjne

Szukaj