Przestrzeń cs

Przestrzeń cs (albo przestrzeń ciągów sumowalnych) – przestrzeń wszystkich ciągów liczbowych $(a_n{)}_n$ o tej własności, że szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

jest zbieżny. W przestrzeni $cs$ można wprowadzić w naturalny sposób normę wzorem

$\Vert (a_n{)}_n\Vert =\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }\left|\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\right|.$

Przestrzeń cs z wyżej zdefiniowaną normą jest przestrzenią Banacha, która nie jest refleksywna. Można udowodnić, że przestrzenią sprzężoną do cs jest przestrzeń bv, tj. przestrzeń wszystkich ciągów liczbowych o wahaniu ograniczonym, tj. wszystkich takich ciągów $(b_n{)}_n,$ że

$\Vert (b_n{)}_n\Vert =|b_1|+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|b_{k+1}-b_k|<\mathrm{\infty }.$

Przestrzeń cs jest izomorficzna z przestrzenią $c_0$, tj. przestrzenią wszystkich ciągów liczbowych zbieżnych do zera. Konstrukcja przestrzeni cs pochodzi od Eduarda Helly’ego.