Punkt ekstremalny

Zbiór wypukły (kolor niebieski) wraz ze swoimi punktami ekstremalnymi (czerwone linie)

Punkt ekstremalny zbioru wypukłego – punkt zbioru wypukłego, który nie leży wewnątrz żadnego niezdegenerowanego odcinka zawartego w tym zbiorze. Równoważnie, punkt $e\in K$ jest punktem ekstremalnym zbioru wypukłego $K,$ gdy równość

$e=\lambda x+(1-\lambda )y$

dla pewnych $x,y\in K$ oraz $\lambda \in [0,1]$ implikuje, że $e=x$ lub $e=y$Szablon:Odn. Zbiór punktów ekstremalnych zbioru wypukłego $K$ oznaczany bywa symbolem $\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}K.$

Charakterystyka

Niech $K$ będzie wypukłym podzbiorem rzeczywistej bądź zespolonej przestrzeni liniowej $X$ oraz $e\in K.$ Wówczas następujące warunki są równoważneSzablon:Odn:

1. $e\in \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}K,$
2. jeżeli $x,y$ są takimi elementami $X,$ że $e=(x+y)/2,$ to co najmniej jeden z tych elementów nie należy do $K$ albo $x=y=e,$
3. jeżeli $\lambda \in [0,1]$ oraz $x,y$ są takimi elementami $X,$ że $e=\lambda x+(1-\lambda )y,$ to co najmniej jeden z tych elementów nie należy do $K$ albo $x=y=e,$
4. jeżeli $F$ jest skończonym podzbiorem $K$ oraz $e$ należy do otoczki wypukłej zbioru $F,$ to $e\in F,$
5. zbiór $K\setminus \{e\}$ jest wypukły.

Przykłady

• Każdy z czterech wierzchołków dowolnego prostokąta jest punktem ekstremalnym; są to jedyne punkty ekstremalne w prostokącie.
• Każdy punkt na brzegu (okrąg) koła domkniętego jest punktem ekstremalnym.
• Niech $K$ będzie domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni liniowo-topologicznej. Każdy punkt eksponowany zbioru $K$ jest również punktem ekstremalnymSzablon:Odn. W skończonych wymiarach, każdy punkt ekstremalny zwartego zbioru wypukłego $K$ w przestrzeni euklidesowej jest granicą ciągu punktów eksponowanych (twierdzenie Straszewicza). W szczególności,

$K=\overline{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}}\exp K$Szablon:Odn.

• Niech $X$ będzie przestrzenią unormowaną. Wówczas $X$ jest ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy sfera jednostkowa $X$ jest zbiorem punktów ekstremalnych domkniętej kuli jednostkowej tej przestrzeni.
• Niech $\mu$ będzie miarą $\sigma$-skończoną oraz niech $B_p$ oznacza domkniętą kulę jednostkową przestrzeni $L_p(\mu )$, gdzie $1⩽p⩽\mathrm{\infty }.$ Wówczas
  • punkty ekstremalne $B_1$ są postaci $\lambda \cdot {\mathrm{𝟙}}_A,$ gdzie $A$ jest atomem miary $\mu$ oraz $\lambda$ jest takim skalarem, że $|\lambda |=\mu (A{)}^{-1},$
  • gdy $1<p<\mathrm{\infty },$ zbiorem punktów ekstremalnych $B_p$ jest sfera jednostkowa, tj. zbiór funkcji o normie $1,$
  • zbiór punktów ekstremalnych $B_{\mathrm{\infty }}$ składa się z funkcji $f,$ które spełniają warunek $|f(\omega )|=1$ dla prawie wszystkich $\omega$Szablon:Odn.

W szczególności, kula jednostkowa przestrzeni $L_1[0,1]$ nie ma punktów ekstremalnych.

• W domkniętej kuli jednostkowej przestrzeni $C[0,1]$ rzeczywistych funkcji ciągłych na $[0,1],$ punktami ekstremalnymi są funkcje stale równe $1$ bądź $-1,$ tj. są tylko dwa takie punkty. Ogólniej, jeżeli $X$ jest przestrzenią całkowicie regularną, to punktami ekstremalnymi domkniętej kuli jednostkowej przestrzeni $C_b(X)$ ograniczonych funkcji skalarnych na $X$ są funkcje spełniające warunek $|f(x)|=1$ dla wszystkich $x\in X$Szablon:Odn.
• Niech $H^{\mathrm{\infty }}$ oznacza przestrzeń ograniczonych funkcji analitycznych na kole $|z|<1$ z normą supremum. Zbiór punktów ekstremalnych kuli jednostkowej tej przestrzeni składa się z tych funkcji $f\in H^{\mathrm{\infty }},$ które mają normę co najwyżej $1$ oraz

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\log [1-f(e^{i\theta })]\mathrm{d}\theta =-\mathrm{\infty }$Szablon:Odn.

Brak punktów ekstremalnych domkniętej kuli jednostkowej $c_0$

Niech $B$ oznacza domkniętą kulę jednostkową przestrzeni $c_0$, tj. przestrzeni wszystkich ciągów liczbowych zbieżnych do $0.$ Niech $x\in B.$ Istnieje wówczas takie $N,$ że dla $n>N$ zachodzi $|x_n|<1/2.$ Niech $c,d$ będą takimi ciągami liczbowymi, które spełniają $c_n=d_n=x_n$ dla $n=1\dots N$ oraz $c_n=x_n+2^{-n},$ $d_n=x_n-2^{-n}$ dla $n>N.$ Tak zdefiniowane ciągi $c,d$ należą do $B,$ są różne od $x$ oraz $x=(c+d)/2,$ co oznacza, że $x$ nie jest punktem ekstremalnym $B$Szablon:Odn.

Twierdzenia dotyczące punktów ekstremalnych w analizie funkcjonalnej

• Twierdzenie Krejna-Milmana: Niech $K$ będzie zwartym i wypukłym podzbiorem lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej. Wówczas

$K=\overline{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}K,$

tj. $K$ jest domknięciem otoczki wypukłej zbioru swoich punktów ekstremalnych.

• Twierdzenie Milmana: Niech $K$ będzie zwartym podzbiorem lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej o tej własności, że domknięcie otoczki wypukłej $K$ jest zwarte. Wówczas

$\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}\overline{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}}K\subseteq K$Szablon:Odn.

W konsekwencji, z twierdzenia Krejna-Szmuljana wynika, że jeżeli $K$ jest słabo zwartym podzbiorem przestrzeni Banacha, to zbiór punktów ekstremalnych otoczki wypukłej zbioru $K$ zawiera się w $K$Szablon:Odn.

• Każdy niepusty, domknięty i wypukły podzbiór przestrzeni mającej własność Radona-Nikodýma ma punkt ekstremalnySzablon:Odn.
• Twierdzenie Rainwatera: Niech $(x_n)$ będzie ciągiem ograniczonym w przestrzeni Banacha $X.$ Wówczas ciąg ten jest słabo zbieżny do pewnego elementu $x\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu ekstremalnego $f$ kuli jednostkowej przestrzeni $X^{*}$ zachodzi warunek

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }⟨f,x_n⟩=⟨f,x⟩$Szablon:Odn.

• Niech $A$ będzie $C^{*}$-algebrą. Element domkniętej kuli jednostkowej w $A$ jest punktem ekstremalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on elementem unitarnym. W szczególności, jeżeli kula $A$ ma punkt ekstremalny, to algebra $A$ ma jedynkęSzablon:Odn. Analogiczne twierdzenie nie zachodzi dla algebr operatorów na przestrzeniach Banacha, które nie są przestrzeniami Hilberta. Dla każdego $p\ne 2,$ kula jednostkowa algebry operatorów zwartych na przestrzeni ${\ell }_p$ ma punkty ekstremalne mimo tego, że algebra ta nie ma jedynki.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę