Punkt eksponowany

Punkt eksponowany – punkt $x_0$ domkniętego podzbioru wypukłego $K$ przestrzeni liniowo-topologicznej $X$ o tej własności, że istnieje ciągły funkcjonał liniowy $f\in X^{*},$ który jest ograniczony z góry na $K,$ tj.

$\underset{x\in K}{\sup }\mathrm{R}\mathrm{e}⟨f,x⟩<\mathrm{\infty },$

oraz $x_0$ jest jedynym takim punktem w $K,$ żeSzablon:Odn:

$\underset{x\in K}{\sup }\mathrm{R}\mathrm{e}⟨f,x⟩=\mathrm{R}\mathrm{e}⟨f,x_0⟩,$

tj. $x_0$ jest jedynym punktem $K$ w którym (część rzeczywista) $f$ osiąga swoje maksimum na $K.$ Innymi słowy, punkt $x_0$ jest eksponowany, gdy istnieje taka hiperpłaszczyzna podpierająca $H$ zbioru $K,$ żeSzablon:Odn:

$H\cap K=\{x_0\}.$

Zbiór punktów eksponowanych danego zbioru wypukłego $K$ oznaczany bywa symbolem $\exp K.$

Pojęcie zostało wprowadzone w 1935 roku przez Stefana Straszewicza.

Związek z punktami ekstremalnymi

Zbiór wypukły (kolor czerwony) wraz z zaznaczonymi punktami ekstremalnymi, które nie są eksponowane

Niech $K$ będzie domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni liniowo-topologicznej. Każdy punkt eksponowany zbioru $K$ jest również punktem ekstremalnymSzablon:Odn. Przeciwna implikacja nie zachodzi nawet na płaszczyźnie. Istotnie, niech $K$ będzie sumą prostokąta $[-1,1]\times [-1,0]$ oraz domkniętego koła o środku w zerze i promieniu 1. Wówczas punkty $(-1,0),(1,0)$ są ekstremalne, ale nie są eksponowane, gdyż (jedyne) hiperpłaszczyzny podpierające zawierające te punkty zawierają także odpowiednie boki prostokąta $[-1,1]\times [-1,0]$ (zob. grafika obok). W skończonych wymiarach, każdy punkt ekstremalny zwartego zbioru wypukłego $K$ w przestrzeni euklidesowej jest granicą ciągu punktów eksponowanych (twierdzenie Straszewicza). W szczególności,

$K=\overline{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}}\exp K.$Szablon:Odn

Punkty mocno eksponowane

Niech $K$ będzie domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni liniowo-topologicznej. Punkt $x_0\in X$ jest mocno eksponowany, gdy istnieje taki funkcjonał $f\in X^{*},$ że dla każdego ciągu $(x_n)$ elementów $K,$ jeżeli

$\mathrm{R}\mathrm{e}⟨f,x_n⟩\to \underset{x\in K}{\sup }\mathrm{R}\mathrm{e}⟨f,x⟩,$

to $x_n\to x_0.$

Zbiór punktów mocno eksponowanych zbioru $K$ oznaczany bywa symbolem $\mathrm{stexp}K.$

Każdy punkt mocno eksponowany jest eksponowany. W przypadku, gdy zbiór $K$ jest dodatkowo zwarty, to każdy punkt eksponowany jest też mocno eksponowanySzablon:Odn. Każdy punkt ekstremalny kuli jednostkowej przestrzeni ℓ_∞ jest *-słabo eksponowany, tj. funkcjonał $f$ można dobrać z przestrzeni ℓ₁Szablon:Odn. Lindenstrauss i Phelps wykazali, że w każdej ośrodkowej przestrzeni refleksywnej da się wprowadzić normę równoważną, której kula jednostkowa ma co najwyżej przeliczalnie wiele punktów mocno eksponowanych

Punkty mocno eksponowane słabo zwartych zbiorów wypukłych

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha oraz niech $K$ będzie wypukłym i słabo zwartym podzbiorem $X.$ Lindenstrauss, a także Troyanski, udowodnili, że

$K=\overline{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}K.$

Lau wykazał, że zbiór tych funkcjonałów $f\in X^{*},$ które świadczą o tym, że dany podzbiór słabo zwartego zbioru wypukłego jest mocno eksponowany jest typu G_δ.

Bibliografia

• M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, CMS Books in Math. Springer, 2011
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę