Hiperpłaszczyzna podpierająca

Hiperpłaszczyzna podpierająca – pojęcie analizy wypukłej.

Niech $A$ będzie niepustym wypukłym podzbiorem przestrzeni unormowanej $X.$ Funkcjonał liniowy $f\in X^{*}$ nazywa się funkcjonałem podpierającym zbiór $A$ w punkcie $x_0\in A,$ jeśli istnieje taka liczba rzeczywista $\lambda ,$ że

$f(x_0)=\lambda$

oraz

$A\subseteq \{x\in X:f(x)⩽\lambda \}.$

Wówczas $f^{-1}(\lambda )$ nazywa się hiperpłaszczyzną podpierającą zbiór $A$ w punkcie $x_0.$

Dla hiperpłaszczyzn podpierających przestrzeni euklidesowych zachodzi twierdzenie o hiperpłaszczyźnie podpierającej:

Niech $f:{ℝ}^n\to ℝ$ będzie funkcją wypukłą. Wtedy:

${\mathrm{\forall }}_{x\in {ℝ}^n}{\mathrm{\exists }}_{r\in {ℝ}^n}{\mathrm{\forall }}_{y\in {ℝ}^n}f(y)⩾f(x)+⟨r,y-x⟩,$

gdzie $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ oznacza standardowy iloczyn skalarny w ${ℝ}^n.$

Odwzorowanie

$y\mapsto f(x)+⟨r,y-x⟩$

wyznacza hiperpłaszczyznę podpierającą $f$ w punkcie $x.$ Nierówność powyższa oznacza zatem, że wykres $f$ jest położony nad każdą hiperpłaszczyzną podpierającą. Jeśli $f$ jest różniczkowalna w $x,$ to

$r=\mathrm{\nabla }f(x).$

Bibliografia

• Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2010.