Operator liczby cząstek

Operator liczby cząstek – dla układów, w których liczba rozpatrywanych cząstek nie jest znana, operator liniowy (obserwabla) „zliczający” ich liczbę.

Formalnie, jeżeli $\mathscr{H}$ jest przestrzenią Hilberta, to operatorem liczby cząstek $N$ na przestrzeni Focka $\mathrm{\Gamma }(\mathscr{H})$ nazywa się operator

$N:\text{dom}N\subset \mathrm{\Gamma }(\mathscr{H})\to \mathrm{\Gamma }(\mathscr{H}),Nu=(n{u}_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }},$

gdzie $u=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{u}_n,u_n\in {\mathscr{H}}^{\otimes n}$.

Dziedziną dom N jest podprzestrzeń liniowa

$\{u\in \mathrm{\Gamma }(\mathscr{H}):\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{n}^2\Vert u_n{\Vert }^2<\mathrm{\infty }\}.$

Operator liczby cząstek jest operatorem dodatnim (w szczególności, jest on operatorem samosprzężonym) na $\mathrm{\Gamma }(\mathscr{H}).$ Z dodatniości wynika, że można w sposób jednoznaczny określić jego pierwiastek $\sqrt{N}.$

Zbiór ${\mathrm{\Gamma }}_{00}(\mathscr{H})$ (zob. przestrzeń skończonej liczby cząstek w artykule przestrzeń Foka) jest dziedziną istotną tego operatora, tzn. operator liczby cząstek jest domknięciem obcięcia operatora $N$ do zbioru ${\mathrm{\Gamma }}_{00}(\mathscr{H}).$ W szczególności, dla dowolnej funkcji $f:\mathbb{N}\to ℂ,$ operator $f(N)$ jest zdefiniowany poprzez rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych:

$f(N)u=(f(n)u_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }},$

gdzie:

$\text{dom}f(N)=\{u\in \mathrm{\Gamma }(\mathscr{H}):\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{n}^2|f(n){|}^2\Vert u_n{\Vert }^2<\mathrm{\infty }\}.$

Średnią operatora liczby cząstek ‹ N › opisują rozkłady statystyczne w mechanice kwantowej:

• statystyka Bosego-Einsteina w przypadku bozonów,
• statystyka Fermiego-Diraca w przypadku fermionów.

W przypadku stanów Foka operatory kreacji i anihilacji odpowiednio zwiększają i zmniejszają liczbę cząstek (tzn. wartość średnią operatora liczby cząstek) o jeden. Jednak w przypadku superpozycji stanów Focka absorpcja bozonu może zwiększyć liczbę cząstek, w tym o liczbę niecałkowitą. To samo tyczy się kreacji bozonu. W ogólności absorpcja bozonu, a następnie kreacja bozonu powoduje, że liczba cząstek jest inna, niż przed absorpcją. Co więcej liczba cząstek po kreacji bozonu i następnej absorpcji będzie inna niż po absorpcji bozonu i następnej kreacji.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę