Operator normalny

Szablon:Spis treści Operator normalny – operator liniowy i ograniczony $N:H\to H$ na przestrzeni Hilberta $H,$ który komutuje ze swoim sprzężeniem $N^{*},$ tj.

$N{N}^{*}=N^{*}N.$

Analogicznie pojęcie elementu normalnego wprowadza się w kontekście *-algebr (w szczególności, C*-algebr) – element a *-algebry A nazywa się normalnym, gdy

$a{a}^{*}=a^{*}a.$

Własności

Operatory normalne opisuje twierdzenie spektralne. Operator ograniczony $T$ jest normalny wtedy i tylko wtedy, gdy

$\Vert Tx\Vert =\Vert T^{*}x\Vert (x\in H).$

Innym warunkiem równoważnym normalności jest równość

$⟨T^{*}x,T^{*}y⟩=⟨Tx,Ty⟩(x,y\in H).$

Operator sprzężony do operatora normalnego jest również normalny: $N$ oraz $N^{\star }$ mają to samo jądro i obraz. Wynika stąd, że obraz $N$ jest gęsty w $H$ wtedy i tylko wtedy, gdy $N$ jest iniektywny. Poza tym

$\Vert N^2\Vert =\Vert N{\Vert }^2$

oraz

$\nu (N)=\Vert N\Vert ,$

gdzie $\nu (N)$ oznacza promień spektralny operatora $N.$

Przykłady

Przykładami operatorów normalnych są:

• operatory unitarne $(N^{*}=N^{-1}),$
• operator samosprzężony $(N^{*}=N),$
• operatory dodatnie $(N=M{M}^{*}),$
• operatory rzutu ortogonalnego $(N=N^{*}=N^2),$
• macierze normalne mogą być postrzegane jako operatory normalne na $n$-wymiarowej przestrzeni Hilberta ${ℂ}^n.$

Zobacz też

• operator podnormalny
• operator quasi-normalny