Promień spektralny

Promień spektralny elementu $a$ algebry zespolonej z jedynką $A$ – liczba nieujemna $ν_{A} (a),$ zdefiniowana wzorem

ν_{A} (a) = \sup {| z | : z \in σ_{A} (a)},

gdzie symbol $σ_{A} (a)$ oznacza widmo elementu $a$ w algebrze $A,$ tzn. zbiór

σ_{A} (a) = {z \in ℂ : z e_{A} - a \notin GL (A)},

przy czym $G L (A)$ oznacza grupę elementów odwracalnych w algebrze $A$ oraz $e_{A}$ jedynkę w tej algebrze. W przypadku, gdy widmo elementu $a$ jest puste, definiuje się

ν_{A} (a) = 0 .

Pojęcie promienia spektralnego ma również sens dla elementów algebr, które nie mają jedynki – w tym przypadku każdy element $a$ algebry $A,$ która nie ma jedynki utożsamia się z elementem algebry $A^{#},$ powstałej z $A$ poprzez dołączenie jedynki.

Podstawowe własności. Wzór Gelfanda

Niech $A$ będzie zespoloną algebrą Banacha z jedynką oraz niech $a$ będzie dowolnym elementem $A .$ Wówczas

widmo $σ_{A} (a)$ jest niepustym, zwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej; w szczególności, jeżeli $a \neq 0,$ to promień spektralny $ν_{A} (a)$ jest dodatni.
dla każdej liczby naturalnej $k$ oraz dla każdego $r > ν_{A} (a)$

a^{k} = \frac{1}{2 π i} \int_{{| z | = r}} ζ^{k} (ζ e_{A} - a)^{- 1} d ζ,

$ν_{A} (a) = \inf {‖ a^{n} ‖^{\frac{1}{n}} : n \in ℕ} = \lim_{n \to \infty} ‖ a^{n} ‖^{\frac{1}{n}} .$

Ostatni wzór powyżej nazywany jest wzorem Gelfanda; został on nazwany na cześć Israela M. Gelfanda, który udowodnił go w roku 1941^[1]. Ze zwartości widma elementów algeby Banacha wynika, że

ν_{A} (a) = \max {| z | : z \in σ_{A} (a)} .

Jeżeli $a$ jest zespoloną macierzą kwadratową, to jej promień spektralny jest największą liczbą spośród modułów jej wartości własnych.

Własności

Operatory liniowe i ograniczone działające na ustalonej przestrzeni unormowanej $E$ tworzą algebrę unormowaną ze składaniem operatorów jako mnożeniem oraz normą operatorową. Poniżej $E$ jest ustaloną przestrzenią unormowaną o wymiarze co najmniej 1 oraz $T, T_{1}, T_{2} : E \to E$ są operatorami liniowymi i ciągłymi. W oznaczeniach promienia spektralnego i widma symbol algebry został pominięty.

Jeżeli $λ$ jest skalarem, to

ν (λ T) = | λ | ν (T) .

Jeżeli $k$ jest liczbą naturalną, to

ν (T^{k}) = ν (T)^{k} .

$ν (T_{1} T_{2}) = ν (T_{2} T_{1}),$ jeżeli ponadto $T_{1} T_{2} = T_{2} T_{1},$ to

ν (T_{1} T_{2}) ⩽ ν (T_{1}) ν (T_{2}),

ν (T_{1} + T_{2}) ⩽ ν (T_{1}) + ν (T_{2}) .

Jeżeli $E$ jest przestrzenią Hilberta oraz $T$ jest operatorem normalnym, to

ν (T) = ‖ T ‖ .