Algebra Banacha

Algebra Banacha – przestrzeń Banacha z określonym dodatkowym działaniem mnożenia wraz z którym tworzy ona algebrę nad ciałem liczb rzeczywistych (algebrę rzeczywistą) bądź zespolonych (algebrę zespoloną) i w której norma jest podmultiplikatywna, tj.

$\Vert a\cdot b\Vert ⩽\Vert a\Vert \Vert b\Vert (a,b\in A).$

Definicja ta ma również sens dla przestrzeni unormowanych, które niekoniecznie są zupełne – w takim przypadku mówi się o algebrach unormowanych. Jeżeli działanie mnożenia jest przemienne, to mówi się odpowiednio o przemiennych algebrach unormowanych i przemiennych algebrach Banacha.

Istnieją zasadnicze różnice w teorii zespolonych i rzeczywistych algebr Banacha wynikające z gorszych własności spektralnych tych drugich, skąd klasyczna teoria algebr Banacha dotyczy głównie zespolonych algebr Banacha. W analizie $p$-adycznej rozważa się również zdefiniowane podobnie jak wyżej algebry Banacha nad ciałem liczb $p$-adycznych (bądź innym ciałem z waluacją), jednak zwykle teorii tej nie zalicza się do teorii algebr Banacha. W niniejszym artykule rozważane będą głównie zespolone algebry Banacha.

Nazwa algebra Banacha została wprowadzona w 1945 przez Warrena Ambrose’a.

Jedynka w algebrze Banacha

Definicja algebry Banacha nie wymaga by miała ona jedynkę, tj. element neutralny względem mnożenia. Skrajnym przykładem algebry Banacha bez jedynki jest dowolna przestrzeń Banacha $A$ z trywialnym mnożeniem, tj. $a\cdot b=0(a,b\in A).$ Każdą algebrę Banacha $A$ można jednak rozszerzyć o jedynkę do większej algebry Banacha (tj. zbudować jej ujedynkowienie) w taki sposób by $A$ była izometryczna z ideałem o kowymiarze 1 w ujedynkowieniu. Dokładniej, w sumie prostej $A\oplus ℂ$ wprowadza się działanie mnożenia wzorem

$(a,\lambda )\cdot (b,\mu )=(ab+\lambda b+\mu a,\lambda \mu )(a,b\in A,\lambda ,\mu \in ℂ),$

wraz z którą jest ona algebrą. Algebra ta jest algebrą Banacha z normą

$\Vert (a,\lambda )|=\Vert a\Vert +|\lambda |(a\in A,\lambda \in ℂ)$Szablon:Odn.

Powyższe konstrukcje mają również sens dla rzeczywistych algebr Banacha; należy jedynie zastąpić wszędzie $ℂ$ przez $ℝ.$

Ciągłość mnożenia w algebrze Banacha

W algebrze Banacha operacja mnożenia jest ciągła. Jest to warunek charakteryzujący algebry będące jednocześnie przestrzeniami Banacha co do przenormowania. Dokładniej, jeżeli $A$ jest taką algebrą, która jest przestrzenią Banacha z normą $|\cdot |$ oraz mnożenie w niej jest ciągłe ze względu na każdą ze zmiennych, to istnieje norma równoważna na $A$ wraz z którą $A$ jest algebrą Banacha. Na przykład funkcja

$\Vert a\Vert =\sup \{|ab|:b\in A,|b|=1\}(a\in A).$

jest normą równoważną normie $|\cdot |$ oraz jest podmultiplikatywna, tj. $A$ wyposażona w tę normę jest algebrą BanachaSzablon:Odn.

Przykłady

• Niech $X$ lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz niech $C_0(X)$ oznacza algebrę funkcji ciągłych o wartościach skalarnych, które znikają w nieskończoności, tj. takich funkcji ciągłych $f,$ że dla każdego $\epsilon >0$ zbiór

$\{x\in X:|f(x)|⩾\epsilon \}$

jest zwarty. W przypadku, gdy przestrzeń $X$ jest zwarta, każda funkcja ciągła na $X$ spełnia ten warunek, skąd przyjmuje się oznaczenie $C(X).$ Algebra $C_0(X)$ z normą supremum:

$\Vert f\Vert =\sup \{|f(x)|:x\in X\}(f\in C_0(X))$

jest przemienną algebrą Banacha, która ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń $X$ jest zwarta (jedynką jest wówczas funkcja stale równa 1).

• Przykładem skończenie wymiarowej algebry Banacha jest przestrzeń $M_n$ macierzy kwadratowych stopnia $n$ z działaniem zwykłego mnożenia macierzy i dowolną normą macierzową.
• Niech $E$ będzie przestrzenią Banacha oraz niech $B(E)$ oznacza algebrę wszystkich operatorów ograniczonych $T:E\to E$ ze składaniem jako mnożeniem. Wówczas $B(E)$ z normą operatorową

$\Vert T\Vert =\sup \{\Vert Tx\Vert :x\in E,\Vert x\Vert ⩽1\}(T\in B(E))$

jest algebrą Banacha z jedynką (jedynką jest w tym wypadku operator identycznościowy). Algebra ta jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy $\dim E⩽1.$

• Niech $L_1(ℝ)$ oznacza przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a na prostej z mnożeniem określonym przez splot, tj.

  $(f*g)(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)g(x-t)\mathrm{d}t(f,g\in L_1(ℝ)).$

Jest to przykład algebry Banacha bez jedynki, którą jednak można aproksymować w takim sensie, iż istnieje ciąg $(e_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ o wyrazach z przestrzeni $L_1(ℝ)$ o tej własności, że $\Vert e_n\Vert =1$ dla każdej liczby naturalnej $n$ oraz

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert e_n*f-f\Vert =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert f*e_n-f\Vert =0$

dla każdej funkcji $f\in L_1(ℝ).$ Ogólniej, dla każdej lokalnie zwartej grupy topologicznej Hausdorffa z określoną na niej miarą Haara $\mu ,$ przestrzeń $L_1(G)$ funkcji $\mu$-całkowalnych na $G$ z działaniem mnożenia splotowego określonego niżej jest algebrą Banacha:

$(xy)(g)=\underset{G}{\int }x(h)y\left(h^{-1}g\right)\mu (\mathrm{d}h),x,y\in L^1(G).$

Algebra $L_1(G)$ ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy grupa $G$ jest dyskretna.

• Kwaterniony tworzą 4-wymiarową algebrę Banacha z normą daną przez ich moduł.
• Algebra Wienera.

Otwartość grupy elementów odwracalnych a ciągłość operacji brania elementu odwrotnego

Niech $A$ będzie (rzeczywistą bądź zespoloną) algebrą Banacha z jedynką 1. Zbiór $\mathrm{G}\mathrm{L}(A)$ złożony ze wszystkich elementów odwracalnych w $A$ jest niepusty, gdyż zawiera 1 oraz jest grupą z mnożeniem dziedziczonym z $A.$ Jeżeli $a\in A$ oraz

$\delta :=\Vert 1-a\Vert <1,$

to $a\in \mathrm{G}\mathrm{L}(A).$ Ponadto

$\Vert a^{-1}\Vert ⩽\frac{1}{1-\Vert 1-a\Vert }$Szablon:Odn.

Dowód. Niech $M<N$ będą liczbami naturalnymi. Wówczas

$\Vert \sum _{k=0}^N(1-a{)}^k-\sum _{k=0}^M(1-a{)}^k|=\Vert \sum _{k=M+1}^N(1-a{)}^k\Vert ⩽\sum _{k=M+1}^N\Vert 1-a{\Vert }^k⩽\frac{{\delta }^M}{1-\delta }.$

Ponieważ prawa strona powyższej nierówności jest zbieżna do 0, ciąg sum częściowych ciągu $(1-a{)}^k$ jest ciągiem Cauchy’ego, a więc jest on zbieżny do pewnego elementu $b\in A$ (z zupełności $A$), tj.

$b=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-a{)}^k.$

Ponadto

$\begin{array}{cc}ab& =(1-(1-a)){\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-a{)}^k\\ & =li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}(1-(1-a)){\sum }_{k=0}^n(1-a{)}^k\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1-(1-a{)}^{n+1})\\ & =1\end{array}$

oraz

$\begin{array}{cc}ba& ={\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-a{)}^k(1-(1-a))\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\sum }_{k=0}^n(1-a{)}^k(1-(1-a))\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1-(1-a{)}^{n+1})\\ & =1,\end{array}$

ponieważ $\delta <1.$ Pokazuje to, że $b=a^{-}1.$ Co więcej,

$\Vert b\Vert =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert \sum _{k=0}^n(1-a{)}^k\Vert ⩽\sum _{k=0}^n\Vert (1-a){\Vert }^k=\frac{1}{1-\Vert 1-a\Vert }.$

Z powyższego wynika, że grupa $\mathrm{G}\mathrm{L}(A)$ jest otwarta (w topologii pochodzącej od normy $A$)Szablon:Odn.

Dowód. Niech $u\in A$ będzie elementem odwracalnym oraz niech $a\in A$ będzie dowolne. Wówczas $a=u(1-(1-u^{-1}a)).$ W przypadku gdy $\Vert a-u\Vert <\Vert u^{-1}{\Vert }^{-1},$ element $a$ jest również odwracalny ponieważ

$\Vert 1-u^{-1}a\Vert ⩽\Vert u^{-1}\Vert \Vert a-u\Vert <1,$

więc element $u^{-1}a$ (a więc i samo $a$) jest odwracalny.

Ostatecznie, funkcja

$a\mapsto a^{-1}(a\in \mathrm{G}\mathrm{L}(A))$

jest ciągła, tj. $\mathrm{G}\mathrm{L}(A)$ jest grupą topologicznąSzablon:Odn.

Dowód. Niech $a,b\in \mathrm{G}\mathrm{L}(A).$ Jeżeli $\Vert a-b\Vert <(2\Vert a^{-1}\Vert {)}^{-1},$ to $\Vert 1-a^{-1}b\Vert <2^{-1}.$

Stąd

$\Vert b^{-1}\Vert ⩽\Vert b^{-1}a\Vert \Vert a\Vert =\Vert (a^{-1}b{)}^{-1}\Vert \Vert a\Vert ⩽2\Vert a^{-1}\Vert .$

Ostatecznie

$\Vert a^{-1}-b^{-1}\Vert ⩽\Vert a^{-1}(a-b)b^{-1}\Vert ⩽2\Vert a^{-1}{\Vert }^2\Vert a-b\Vert ,$

co dowodzi ciągłości operacji brania elementu odwrotnego.

Ideały i ilorazowe algebry Banacha

Niech $A$ będzie algebrą Banacha oraz niech $I$ będzie domkniętym ideałem dwustronnym. W szczególności, $I$ jest domkniętą podprzestrzenią liniową, więc przestrzeń ilorazowa $A/I$ jest przestrzenią Banacha. Ponieważ $I$ jest ideałem dwustronnym, $A/I$ jest również algebrą. Algebra ta jest algebrą Banacha, tj. norma ilorazowa jest podmultiplikatywna.

Dowód. Niech $a,b\in A.$ Wówczas

$\begin{array}{cc}\Vert ab+I\Vert & =\underset{c\in ab+I}{\inf }\Vert c\Vert \\ & =\underset{c_1\in a+I,c_2\in b+I}{\inf }\Vert c_1{c}_2\Vert \\ & ⩽\underset{c_1\in a+I,c_2\in b+I}{\inf }\Vert c_1\Vert \cdot \Vert c_2\Vert \\ & ⩽\underset{c_1\in a+I}{\inf }\Vert c_1\Vert \cdot \underset{c_2\in b+I}{\inf }\Vert c_2\Vert \\ & =\Vert a+I\Vert \cdot \Vert b+I\Vert .\end{array}$

Powyższa nierówność kończy dowód, ponieważ każdy element $A/I$ jest postaci $a+I$ dla pewnego $a\in A$Szablon:Odn.

Z ciągłości działań w algebrze Banacha wynika, że jeżeli $I$ jest dowolnym ideałem w $A,$ to jego domknięcie też jest ideałem w $A.$

Przykłady

• Niech $X$ będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Wówczas każdy domknięty ideał $I$ w $C(X)$ jest postaci

$I=\{f\in C(X):f{|}_K=0\}$

dla pewnego zwartego podzbioru $K\subseteq X.$ Algebra ilorazowa $C(X)/I$ jest wówczas izometrycznie izomorficzna jako algebra Banacha z $C_0(X\setminus K)$Szablon:OdnSzablon:Odn.

• Dla każdej przestrzeni Banacha $E,$ zbiór $K(E)$ złożony ze wszystkich operatorów zwartych na $E$ jest domkniętym ideałem w $B(E).$ Algebra ilorazowa $B(E)/K(E)$ bywa nazywana algebrą Calkina przestrzeni $E$ (czasami nazwa ta jest rezerwowana dla przypadku, gdy $E$ jest ośrodkową przestrzenią HilbertaSzablon:Odn).

Przemienne algebry Banacha

Podstawowym przykładem przemiennej algebry Banacha jest algebra $C_0(X)$ funkcji ciągłych o własnościach skalarnych na lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa $X,$ które znikają w nieskończoności. Jeżeli $A$ jest przemienną algebrą Banacha, to rodzina jej maksymalnych ideałów modularnych ${\mathrm{\Delta }}_A$ z topologią Gelfanda jest (możliwie pustą) przestrzenią lokalnie zwartą Hausdorffa. Transformata Gelfanda

$\mathrm{\Phi }:A\to C_0({\mathrm{\Delta }}_A)$

jest ciągłym homomorfizmem, który jest różnowartościowy i ma gęsty obraz w przypadku, gdy $A$ jest pół-prosta w sensie Jacobsona, tj. gdy niezerowe funkcjonały liniowo-multiplikatywne oddzielają punkty w $A.$

Zobacz też

• C*-algebra
• sprzężona algebra Banacha

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Banach algebra Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].