Transformata Gelfanda

Transformata Gelfanda – dla danej przemiennej algebry Banacha $A$ przyporządkowanie

$a\mapsto \hat{a},a\in A$

dane wzorem

$\hat{a}(\gamma )=\gamma (a),$

gdzie $\gamma$ jest elementem zbioru ${\mathrm{\Phi }}_A,$ tj. $\gamma$ należy do zbioru wszystkich niezerowych homomorfizmów algebry $A$ o wartościach w ciele liczb zespolonych. W zbiorze ${\mathrm{\Phi }}_A$ wprowadza się najsłabszą topologię względem, której wszystkie jego elementy są funkcjami ciągłymi (tzw. topologię Gelfanda; zbiór ${\mathrm{\Phi }}_A$ z topologią Gelfanda nazywany jest przestrzenią Gelfanda algebry $A$). Przestrzeń Gelfanda jest zawsze lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa, przy czym jest ona zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy algebra $A$ ma jedynkę. Otoczenia bazowe danego punktu ${\gamma }_0$ z przestrzeni Gelfanda są postaci

$U_F=\{\gamma \in {\mathrm{\Phi }}_A:|\gamma (a)-{\gamma }_0(a)|<1,a\in F\},$

gdzie $F$ jest skończonym podzbiorem $A.$ Zbiór

$A_{\mathrm{\Gamma }}=\{a\in A:\hat{a}=0\}$

nazywany jest radykałem Gelfanda algebry $A.$ Radykał Gelfanda zawiera radykał Jacobsona algebry $A$ oraz dowolny jej komutator, tj. element postaci $ab-ba,$ gdzie $a$ i $b$ są elementami algebry $A.$

Transformata Gelfanda

$\hat{\cdot }:A\to C({\mathrm{\Phi }}_A)$

jest ciągłym homomorfizmem algebr o wartościach w C*-algebrze wszystkich funkcji ciągłych na przestrzeni Gelfanda danej algebry.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę