Liniowo niezależny układ wektorów

Szablon:Integracja Liniowo niezależny układ wektorów – układ wektorów $(x_{\iota }{)}_{\iota =1}^s$ przestrzeni wektorowej $𝕍$ rozpiętej nad ciałem $𝕂,$ dla którego każda zerująca się kombinacja jest trywialna, tzn. dla każdego układu skalarów $({\alpha }_{\iota }{)}_{\iota =1}^s$ prawdziwa jest implikacja:

$(\sum _{\iota =1}^s{\alpha }_{\iota }{x}_{\iota }=\mathrm{𝟎})\Rightarrow ({\mathrm{\forall }}_{1⩾\iota ⩾s}{\alpha }_{\iota }=0).$

Przykład

Układ wektorów $((a,b,c))$ przestrzeni ${ℝ}^3,$ gdzie:

$a:=(0,5,7)$

$b:=(0,1,-2)$

$c:=(-4,0,0),$

jest liniowo niezależny, ponieważ:

${\alpha }_{1}a+{\alpha }_{2}b+{\alpha }_{3}c=\mathrm{𝟎}\Rightarrow (-4{\alpha }_3,5{\alpha }_1+{\alpha }_2,7{\alpha }_1-2{\alpha }_2)=(0,0,0)\Rightarrow {\alpha }_1={\alpha }_2={\alpha }_3=0.$

Własności

• Każdy niepusty podukład układu liniowo niezależnego jest liniowo niezależny.
  • W szczególności: do żadnego układu liniowo niezależnego nie należy wektor zerowy.
• Układ wektorów jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy żaden z wektorów tego układu nie jest kombinacją liniową pozostałych wektorów tego układu.
• Układ jednoelementowy $(x)$ jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy $x\ne \mathrm{𝟎}$.
• Dwa układy równoważne, liniowo niezależne, są równoliczne.
• Niech będą dane równoliczne układy wektorów: $(v_{\iota }{)}_{\iota =1}^r,(w_{\iota }{)}_{\iota =1}^r,$ tej samej przestrzeni $𝕍,$ przy czym układ $(v_{\iota }{)}_{\iota =1}^r$ jest liniowo niezależny oraz wyraża się liniowo przez układ $(w_{\iota }{)}_{\iota =1}^r.$ Wtedy te układy są układami równoważnymi.