Relacja liniowego wyrażania się układu przez układ

Relacja liniowego wyrażania się układu $(v_{\iota }{)}_{\iota =1}^p$ przez układ $(w_{\iota }{)}_{\iota =1}^q$ – pojęcie algebry liniowej, relacja, symbolicznie oznaczana jako $(v_{\iota }{)}_{\iota =1}^p\prec (w_{\iota }{)}_{\iota =1}^q,$ zdefiniowana następująco:

Układ wektorów $(v_{\iota }{)}_{\iota =1}^p$ wyraża się liniowo przez układ $(w_{\iota }{)}_{\iota =1}^q,$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor układu $(v_{\iota }{)}_{\iota =1}^p$ jest generowany przez kombinację liniową układu wektorów $(w_{\iota }{)}_{\iota =1}^q$, co można symbolicznie zapisać:

$(v_{\iota }{)}_{\iota =1}^p\prec (w_{\iota }{)}_{\iota =1}^q⟺{\mathrm{\forall }}_{1⩾\iota ⩾p}{v}_{\iota }\in 𝕤𝕡𝕒𝕟((w_{\iota }{)}_{\iota =1}^q)$.

Symbol $\prec$ czytamy jako: „wyraża się liniowo przez”.

Relacja $\prec$ określona w zbiorze wszystkich skończonych układów wektorów przestrzeni wektorowej $𝕍$, jest relacją zwrotną i tranzytywna.

Prawdziwe jest następujące twierdzenie:

$(v_{\iota }{)}_{\iota =1}^p\prec (w_{\iota }{)}_{\iota =1}^q⟺\text{span}((v_{\iota }{)}_{\iota =1}^p)<\text{span}((w_{\iota }{)}_{\iota =1}^q)$,

gdzie $<$ czytamy jako „jest podprzestrzenią przestrzeni”.

Pojęcia relacji liniowego wyrażania się układu przez układ używa się m.in. do definiowania układów równoważnych.