Układy równoważne

Układy równoważne – układy wektorów $(v_{\iota }{)}_{\iota =1}^p,$ $(w_{\iota }{)}_{\iota =1}^q,$ takie, że układ $(v_{\iota }{)}_{\iota =1}^p$ wyraża się liniowo przez układ $(w_{\iota }{)}_{\iota =1}^q$ oraz układ $(w_{\iota }{)}_{\iota =1}^q$ wyraża się liniowo przez układ $(v_{\iota }{)}_{\iota =1}^p$. Równoważność układów symbolicznie zapisujemy jako relację:

$(v_{\iota }{)}_{\iota =1}^p\sim (w_{\iota }{)}_{\iota =1}^q$.

Relacja równoważności układów określona w zbiorze wszystkich skończonych układów wektorów przestrzeni wektorowej $𝕍$ jest relacją równoważnościową.

Dla przestrzeni generowanych przez układ wektorów prawdziwe jest następujące twierdzenie:

$\text{span}((v_{\iota }{)}_{\iota =1}^p)=\text{span}((w_{\iota }{)}_{\iota =1}^q)⟺(v_{\iota }{)}_{\iota =1}^p\sim (w_{\iota }{)}_{\iota =1}^q$.