Iloczyn diadyczny

Iloczyn diadyczny – to iloczyn wektora (kolumnowego) $𝐮$ z wektorem (wierszowym) ${𝐯}^T$ tego samego wymiaru, dający tensor 2-go rzędu, np.

$𝐮\otimes {𝐯}^T=\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}{v}_1& v_2& v_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{u}_1{v}_1& u_1{v}_2& u_1{v}_3\\ u_2{v}_1& u_2{v}_2& u_2{v}_3\\ u_3{v}_1& u_3{v}_2& u_3{v}_3\end{array}\right]$

Iloczyn diadyczny jest szczególnym przypadkiem iloczynu tensorowego wektorów (gdzie wymiary wektorów nie muszą być równe, a wektory mogą być dowolnego typu, np. 2 wektory kolumnowe lub 2 wierszowe) lub ogólniej – iloczynu tensorowego macierzy.

Definicja ogólna

Jeżeli dane są:

(1) baza wektorów kolumnowych przestrzeni wektorowej $\{{𝐞}_i,i=1,\dots ,n\}$

(2) odpowiadająca jej baza $\{{𝐞}_i^T,i=1,\dots ,n\}$ wektorów wierszowych

(3) wektory $𝐮,𝐯$ zapisane w tych bazach

$𝐮=\sum _i^n{u}_i{𝐞}_i,$ ${𝐯}^T=\sum _j^n{v}_j{𝐞}_i^T,$

to iloczyn diadyczny $𝐮\otimes 𝐯$ ma postać

$𝐮\otimes {𝐯}^T=\sum _{i,j=1}^n{u}_i{v}_j{𝐞}_i\otimes {𝐞}_j^T,$

gdzie ${𝐄}_{𝐢𝐣}={𝐞}_i\otimes {𝐞}_j^T$ – macierz wymiaru $n\times n,$ której element $E_{ij}=1,$ a pozostałe elementy są równe zeru. Macierze te stanowią bazę tensora, tzn. dowolny tensor rzędu 2-go można wyrazić jako kombinację liniową tych macierzy bazowych.

Np. dla przestrzeni wektorowej 3-wymiarowej mamy 9 macierzy ${𝐄}_{𝐢𝐣},i,j=1,2,3,$ np.

${𝐄}_{\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟐}}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

Twierdzenie o śladzie iloczynu diadycznego

Dowodzi się, że w ogólności słuszne jest twierdzenie

Tw. Ślad iloczynu diadycznego wektorów jest równy ich iloczynowi skalarnemu

$\mathrm{tr}(𝐮\otimes {𝐯}^T)={𝐯}^T\cdot 𝐮.$

Przykład: Niech będą dane wektory

${𝐮}^T=[1,2,3],$ ${𝐯}^T=[0,3,1].$

Ich iloczyn diadyczny wynosi

$𝐮\otimes {𝐯}^T=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{ccc}0& 3& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 3& 1\\ 0& 6& 2\\ 0& 9& 3\end{array}\right]$

oraz ślad macierzy wynosi

$\mathrm{tr}(𝐮\otimes {𝐯}^T)=9$

– i jest on równy iloczynowi skalarnemu wektorów $𝐮,𝐯,$ gdyż

${𝐯}^T\cdot 𝐮=\left[\begin{array}{ccc}0& 3& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]=9$

Nieprzemienność iloczynu diadycznego

Przykład: Niech będą dane wektory

${𝐮}^T=[1,2,3],$ ${𝐯}^T=[0,3,1].$

Ich iloczyn diadyczny $𝐯\otimes {𝐮}^T$ wynosi

$𝐯\otimes {𝐮}^T=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\\ 1\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 3& 6& 9\\ 1& 2& 3\end{array}\right]$

Porównując powyższy wynik z iloczynem diadycznym z wcześniejszego rozdziału, widać, że iloczyn diadyczny nie jest przemienny

$𝐯\otimes {𝐮}^T\ne 𝐮\otimes {𝐯}^T.$

Tylko w szczególnych przypadkach może zachodzić przemienność iloczynu diadycznego.

Zobacz też

• iloczyn tensorowy (iloczyn Kroneckera)
• iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta
• tensor

Bibliografia

• Guściora H., Sadowski M., Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.