Bramka Hadamarda

Symbol bramki Hadamarda używany w obliczeniach kwantowych i na schematach obwodów kwantowych

Bramka Hadamarda (ozn. w skrócie symbolem H) – jednokubitowa bramka kwantowa, która przekształca qubity w stanach bazowych $|0⟩$ i $|1⟩$ na superpozycje tych stanów z równymi wagami; zwykle wybiera się tak fazę, że bramka ta w notacji Diraca ma postać:

$H=\frac{|0⟩+|1⟩}{\sqrt{2}}⟨0|+\frac{|0⟩-|1⟩}{\sqrt{2}}⟨1|$

W reprezentacji macierzowej bramkę tą reprezentuje 2-wymiarowa macierz unitarna; w bazie wektorów $|0⟩,|1⟩$ macierz ta jest iloczynem $\sqrt{2}{}^{-1}$ i macierzy Hadamarda:

$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$

Działanie bramki Hadamarda

Działanie bramki Hadamarda H dla wektorów bazowych (stanów bazowych) $|0⟩$ oraz $|1⟩$ oblicza się, mnożąc macierz H przez wektory bazy, co daje wynik:

$H|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩),$

$H|1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-|1⟩).$

Wektory $H|0⟩,H|1⟩$ stanowią bazę ortonormalną w przestrzeni stanów jednego kubitu, którą nazywa się bazą Hadamarda i oznacza symbolami $|+⟩\equiv H|0⟩,$ $|-⟩\equiv H|1⟩.$

Odwracalność bramki Hadamarda

Bramka Hadamarda jak każda bramka kwantowa jest odwracalna: jej działanie prowadzi do pewnego stanu kwantowego to ponowne przejście tego stanu przez bramkę Hadamarda daje stan początkowy. Np.:

$H|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩$

oraz

$H(\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩)=\frac{1}{\sqrt{2}}(H|0⟩+H|1⟩)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right(|0⟩+|1⟩)+\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-|1⟩\left)\right)=\frac{1}{2}(|0⟩+|1⟩+|0⟩-|1⟩)=|0⟩.$

Powyższą własność łatwo dowodzi się korzystając z postaci macierzowej bramki Hadamarda: podwójne zastosowanie tej bramki odpowiada mnożeniu macierzy bramki Hadamarda przez siebie, co daje macierz jednostkową:

$H\cdot H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

Oznacza to, że działanie kolejnych dwóch bramek jest identycznością, a więc nie zmienia stanu, na który działa.

Uniwersalność bramki Hadamarda

Bramka Hadamarda ma podstawowe znaczenie dla obliczeń kwantowych, jako jedna z tzw. uniwersalnych bramek kwantowych (wszystkie inne bramki kwantowe można zbudować z bramek zbioru uniwersalnych bramek kwantowych).

Zobacz też

• algorytm kwantowy
• informatyka kwantowa
• komputer kwantowy
• Jacques Hadamard