Bramka kwantowa

Zestaw kwantowych bramek logicznych ( nazwa bramki, symbol graficzny, macierz unitarna, odpowiadająca bramce)

Obwód kwantowy, który dokonuje teleportacji kubitu, który zawiera bramki kwantowe (czytając od lewej do prawej): bramkę CNOT, która działa na kubitach w stanach $|\psi {⟩}_C$ i $|\mathrm{\Phi }{⟩}_A^{+}$, bramkę Hadamarda $H$, która działa na pierwszy kubit (licząc od góry), znajdujący się w stanie wyjściowym po zadziałaniu bramki CNOT, dwie bramki pomiaru - za tymi bramkami mamy podwójne linie, co oznacza, że kubity zostały zmierzony i zredukowały się do bitów o ściśle określonych stanach; stan końcowy obwodu to kubit $|\psi {⟩}_B$.

Bramki kwantowe – ściśle określone operacje fizyczne, wykonywane podczas obliczeń na kubitach, tworzących rejestr komputerów kwantowych; operacje te zależą od tego, w jaki sposób są fizycznie realizowane kubity w danym komputerze kwantowym. Celem działania bramek kwantowych jest zmiana stanu aktualnego kubitu / kubitów na inny stan.

Symbole bramek kwantowych. Schematy obwodów kwantowych Na schematach obwodów kwantowych bramki kwantowe oznaczane są za pomocą ustalonych symboli (por. zestawienie w tabeli), przy czym a) bramki mają tyle samo wejść, co wyjść b) ilość wejść / wyjść jest równa liczbie kubitów, na których działają - są więc bramki jedno-, dwu-, trzykubitowe. Schematy obwodów kwantowych czyta się jak nuty na pięciolinii - od lewej do prawej strony, przy czym linie pojedyncze oznaczają kubity, a linie podwójne oznaczają bity.

Opis teoretyczny działania bramek kwantowych: W opisie teoretycznym bramki kwantowe są reprezentowane przez macierze unitarne. Działanie realnej bramki kwantowej polega na przekształcaniu stanu kwantowego kubitu / kubitów w inny stan kwantowy. Opis zaś teoretyczny działania bramki sprowadza się do pomnożeniu wektora stanu $|\mathrm{\Psi }⟩$, reprezentującego kubit / kubity przez macierz, opisującą daną bramkę kwantową (por. tabela - przykłady macierzy) - w wyniku otrzymuje się stan kubitu / kubitów $|\mathrm{\Phi }⟩$ po oddziaływaniu z bramką.

Bramki kwantowe są podstawowymi operacjami, za pomocą których realizuje się algorytmy kwantowe; służą do przetwarzania informacji kwantowej.

Historia

Współcześnie używane typy bramek kwantowych została opracowane przez twórców teorii informatyki kwantowej, takich jak Adriano Barenco, Charles Bennett, Szablon:Link-interwiki, Szablon:Link-interwiki, Szablon:Link-interwiki, Peter Shor, Tycho Sleator, Szablon:Link-interwiki, Harald Weinfurter. Symbolika bramek bazuje na symbolice wprowadzonej przez Richarda Feynmanna in 1986.

Bramki jednokubitowe

Stany pojedynczych kubitów, które nie są splątane mają ogólną postać:$|\psi ⟩=\cos (\theta /2)|0⟩+e^{i\phi }\sin (\theta /2)|1⟩.$Można je przedstawić jako punkty na powierzchni sfery Blocha. Obroty wokół osi x, y, z sfery Blocha reprezentowane są przez bramki kwantowe operatora obrotu.

Bramka Hadamarda

Bramka Hadamarda

$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$

Bramki Pauliego X, Y, Z

• bramka Pauliego X = bramka NOT (bramka kwantowej negacji)

$X={\sigma }_x=\mathrm{NOT}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

• bramka Pauliego Y

$Y={\sigma }_y=\left[\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right]$

• bramka Pauliego Z

$Z={\sigma }_z=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

Bramka pierwiastek z NOT

Bramka $\sqrt{NOT}$

- bramka pierwiastek kwadratowy z negacji

$\sqrt{NOT}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1+i& 1-i\\ 1-i& 1+i\end{array}\right]$

Bramka zmiany fazy $\pi /4$

$T=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\pi /4}\end{array}\right]$

Uwaga: Bramka T tradycyjnie oznaczana była jako bramka $\pi /8.$

Bramki dowolnej zmiany fazy

Bramki dowolnej zmiany fazy - to rodzina bramek kwantowych, które działają na pojedynczych kubitach i dokonują zmiany ich stanów bazowych $|0⟩\mapsto |0⟩$ oraz $|1⟩\mapsto e^{i\phi }|1⟩$. Prawdopodobieństwa zmierzenia stanów $|0⟩$ oraz $|1⟩$ danego kubitu nie zmieniają się w wyniku takiej transformacji, ale modyfikacja fazy jego stanu kwantowego staje się istotna przy oddziaływaniu z innymi kubitami. Działanie bramki jest obrazowane na sferze Blocha jako obrót wokół osi z o $\phi$ radianów. Bramkę reprezentuje macierz:

$P(\phi )=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\phi }\end{array}\right]$

Bramki fazowe Z, T, S

Bramki fazowe Z, T, S są szczególnymi przypadkami bramki zmiany fazy $P(\phi )$:

$Z=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\pi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]=P\left(\pi \right)$

$T=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\frac{\pi }{4}}\end{array}\right]=P\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{S}=\sqrt[4]{Z}$

$S=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\frac{\pi }{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& i\end{array}\right]=P\left(\frac{\pi }{2}\right)=\sqrt{Z}$

tj. bramka zmiany fazy $P(\phi )$ staje się bramką Pauliego Z dla $\phi =\pi$, bramką fazową T dla $\phi =\frac{\pi }{4}$ oraz bramką fazową S dla $\phi =\frac{\pi }{2}.$

Bramki dwukubitowe

Bramka CNOT

- bramka kontrolowanej negacji: wykonuje operację NOT na drugim kubicie tylko wtedy, gdy kontrolujący kubit jest w stanie $|1⟩$

Bramka CNOT

$\mathrm{CNOT}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$

Bramka SWAP

Bramka SWAP

$\text{SWAP}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Bramki trzykubitowe

Bramka Toffoliego (CCNOT, T)

- bramka podwójnego kontrolowania negacji: wykonuje operację NOT na trzecim kubicie tylko wtedy, gdy dwa kontrolujące kubity są w stanie ∣$|1⟩$$|1⟩$

Bramka Toffoliego

$\text{CCNOT}=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$

Bramka Fredkina (CSWAP)

Bramka Fredkina (CSWAP)

$\text{CSWAP}=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Bramka Deutscha

- znana również jako bramka Deutscha-Toffoli; realizuje operacją XOR (exclusive OR) między dwoma kubitami kontrolnymi $a,b$ i trzecim kubitem $c$: jeżeli $a=1$ i $b=1$, to $c\to c\oplus 1$; w przeciwnym razie $c$ pozostaje bez zmian.

Skrótowy zapis działania bramki Deutscha:

$\text{Deutsch}|a,b,c⟩=|a,b,c\oplus (a\wedge b)⟩$

Uniwersalne bramki kwantowe

Spośród wszystkich bramek kwantowych można wyróżnić tzw. zbiory uniwersalne, tj. takie zbiory bramek, z których można utworzyć dowolną inną bramkę kwantową. Istnieje wiele takich zbiorów. Przykładowy zbiór uniwersalny tworzą 4 poniższe bramki:

1. bramka Pauliego X (jednokubitowa) $X=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$
2. bramka Hadamarda (jednokubitowa) $H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$
3. bramka zmiany fazy (jednokubitowa) $T=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\pi /4}\end{array}\right]$
4. bramka CNOT (dwukubitowa) $\mathrm{CNOT}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$

Zestaw powyższych bramek 1, 2, 3, w połączeniu z odpowiednimi kontrolami (np. bramką kontrolowanego NOT), jest wystarczający do konstruowania dowolnych operacji kwantowych.

Właściwości bramek

• obliczenia na bramkach kwantowych są odwracalne,
• bramki mają jednakową liczbę wejść i wyjść.

Przykład bramki kwantowej NAND na dwóch kontrolowanych spinach

Bramkę kwantową zaprzeczenia koniunkcji lub NAND można zrealizować np. przy pomocy dwóch spinów elektronu, oddziałujących najprostszym oddziaływaniem typu wymiennego, umieszczonych w polu magnetycznym o kierunku zależnym od czasu, użytym do jej pracy. Hamiltonian takiego układu dany jest wzorem:

$H=-{\mathit{\sigma }}_1\cdot 𝐁-{\mathit{\sigma }}_2\cdot 𝐁-{\mathit{\sigma }}_1\cdot {\mathit{\sigma }}_2,$

gdzie ${\mathit{\sigma }}_1,$ ${\mathit{\sigma }}_2$ to operatory-wektory spinu elektronu złożone z trzech macierzy Pauliego.

Równania ruchu Blocha przyjmują postać:

$\dot{{\mathit{\sigma }}_1}={\mathit{\sigma }}_1\times 𝐁+{\mathit{\sigma }}_1\times {\mathit{\sigma }}_2$

$\dot{{\mathit{\sigma }}_2}={\mathit{\sigma }}_2\times 𝐁+{\mathit{\sigma }}_2\times {\mathit{\sigma }}_1$

Równania te można rozwiązać w przybliżeniu tzw. adiabatycznego śledzenia się wektorów spinów o infinitezymalnej precesji Larmora i wektora pola magnetycznego jeśli tylko założyć, że $|𝐁|=|{\mathit{\sigma }}_{𝒊}|.$ W zależności od tego czy wektory spinu są na początku oba równolegle czy antyrównolegle do pola lub antyrównolegle do siebie albo oba adiabatycznie śledzą wektor pola magnetycznego i oba razem zmieniają kierunek o 180° albo prawa strona jednego z równań znika tożsamościowo i zmienia się kierunek tylko drugiego spinu, który śledzi adiabatycznie superpozycje pola i drugiego dodającego się jako pole efektywne spinu zamrożonego. Funkcja zmiany kierunku pola, np. sinus, jest oczywiście bezwarunkowa i nie zależy od stanu początkowego spinów co gwarantuje pracę bramki. Po czasie adiabatycznej zmiany kierunku pola $𝐁$ o 180° mamy więc:

$e^{-i\int H(t)d{t}_{op}}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]$

$e^{-i\int H(t)d{t}_{op}}\left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$

$e^{-i\int H(t)d{t}_{op}}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$

$e^{-i\int H(t)d{t}_{op}}\left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$

Interpretując spin do góry jako logiczną 1, a do dołu jako 0 i zduplikowany spin stanu końcowego jako wynik, otrzymujemy bramkę zaprzeczenia koniunkcji, czyli NAND.

Bibliografia

• Christopher C. Gerry, Peter L. Knight, Wstęp do optyki kwantowej, Warszawa PWN 2007

Zobacz też

• algorytm kwantowy
• informatyka kwantowa
• komputer kwantowy
• kubit
• kubit pomocniczy
• kwantowe wyżarzanie
• zasada odroczonego pomiaru

Linki zewnętrzne

• Bramki kwantowe i przepis na splątanie - kanał EleKwant na Youtube