Hamiltonian

Hamiltonian (funkcja Hamiltona) – funkcja współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisująca układ fizyczny w sformułowaniu Hamiltona teorii fizycznych

$H=H(q_1,\dots ,q_N,p_1,\dots ,p_N,t),$

gdzie:

$q_j$ – współrzędne uogólnione,

$p_j$ – pędy uogólnione (zdefiniowano je niżej),

$N$ – liczba stopni swobody,

$t$ – czas.

Hamiltonian wykorzystuje się m.in. do zapisania równań Hamiltona i równania Hamiltona-Jacobiego.

Dla układu hamiltonowskiego hamiltonian jest całką pierwszą.

W mechanice kwantowej odpowiednikiem funkcji Hamiltona jest operator Hamiltona.

Metody otrzymywania funkcji Hamiltona

Funkcję Hamiltona otrzymuje się,

• z wyrażenia na energię całkowitą układu,
• z funkcji Lagrange’a (za pomocą tzw. transformacji Legendre’a),

przy czym należy zastąpić prędkości występujące w wyrażeniach na energię czy funkcję Lagrange’a za pomocą pędów.

Wyznaczanie funkcji Hamiltona z energii układu

Funkcję Hamiltona można otrzymać znając wzór na energię całkowitą układu, przy czym prędkości wyraża się za pomocą pędów.

Punkt materialny

(1) Jeżeli cząstka o masie $m$ porusza się z prędkością nierelatywistyczną w potencjale $V,$ to energia całkowita cząstki jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w postaci

$E=\frac{m{𝐯}^2}{2}+V(𝐪).$

Ponieważ $𝐯=\frac{𝐩}{m},$ to funkcja Hamiltona przyjmuje postać:

$\mathscr{H}(t,𝐪,𝐩)=\frac{{𝐩}^2}{2m}+V(𝐪).$

(2) Dla cząstki relatywistycznej, swobodnej (tj. nie oddziałującej z żadnym polem potencjału) związek między energią i pędem ma postać

$E=\sqrt{m^2{c}^4+{𝐩}^2{c}^2}.$

Stąd funkcja Hamiltona ma postać

$\mathscr{H}(t,𝐪,𝐩)=\sqrt{m^2{c}^4+{𝐩}^2{c}^2}.$

Oscylator harmoniczny

Energia całkowita oscylatora harmonicznego poruszającego się w kierunku $x$ ma postać

$E=\frac{m{v}^2}{2}+\frac{m}{2}{\omega }_0^2{x}^2.$

Stąd funkcja Hamiltona ma postać

$\mathscr{H}(x,p)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}{\omega }_0^2{x}^2.$

Wyznaczanie funkcji Hamiltona z funkcji Lagrange’a

Funkcję Hamiltona można otrzymać z funkcji Lagrange’a

$ℒ=ℒ(q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N,t),$

gdzie:

$q_j$ – współrzędna uogólniona,

${\dot{q}}_j$ – prędkość uogólniona,

$t$ – czas.

Dla każdej prędkości uogólnionej ${\dot{q}}_j$ wyznacza się odpowiadający jej pęd uogólniony $p_j$(tzw. pęd kanonicznie sprzężony), zdefiniowany jako pochodna funkcji Lagrange’a po prędkości uogólnionej ${\dot{q}}_j$

$p_j=\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_j}.$

Hamiltonian można znaleźć teraz z funkcji Lagrange’a za pomocą tzw. transformacji Legendre’a

$H(q_1,\dots ,q_N,p_1,\dots ,p_N,t)=\sum _i{\dot{q}}_i{p}_i-L(q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N,t),$

przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych występujących w funkcji Lagrange’a przez pędy uogólnione, gdyż funkcja Hamiltona musi być zapisana jako funkcja pędów uogólnionych. Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.

Przykłady pędów uogólnionych

• W przypadku współrzędnych kartezjańskich pędy uogólnione są zwykłymi pędami.
• We współrzędnych walcowych jako jedną ze współrzędnych uogólnionych cząstki przyjmuje się kąt; wtedy prędkość uogólniona jest prędkością kątową, a pęd uogólniony – obliczany jako pochodna funkcji Lagrange’a po prędkości kątowej – okazuje się być momentem pędu cząstki.
• W ogólnym przypadku pędy uogólnione mogą nie mieć prostej interpretacji fizycznej, co wynika z dowolności wyboru współrzędnych uogólnionych.

Bibliografia

• W. Królikowski, W. Rubinowicz, Mechanika teoretyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012.
• Szablon:Cytuj