Całka pierwsza

Całka pierwsza – funkcja przyjmująca stałą wartość na trajektoriach rozwiązań równania różniczkowego (lub układu równań różniczkowych).

Funkcja tożsamościowo stała jest całką pierwszą dla dowolnego równania. Nietrywialna, czyli niebędąca stałą w otoczeniu żadnego punktu, całka pierwsza wyznacza trajektorie, które są jej poziomicami.

Przykłady

Dla układu hamiltonowskiego hamiltonian jest całką pierwszą.

Dla równania (P,Q – funkcje klasy C¹ określone na zbiorze jednospójnym):

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

istnieje całka pierwsza, jeśli:

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.$

Jeśli A i B są całkami pierwszymi to ich nawias Poissona $\{A,B\}$ również jest całką pierwszą, co wynika ze wzoru na jego pochodną.