Równania Hamiltona

Równania Hamiltona, kanoniczne równania ruchu – jedna z alternatywnych postaci zapisu równań ruchu, obok równań ruchu mechaniki Newtona oraz równań Eulera-Lagrange’a mechaniki w ujęciu Lagrange’a. Równania te wyrażają pochodne współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych układu fizycznego po czasie przy pomocy funkcji Hamiltona układu.

Definicja równań Hamiltona

Równania Hamiltona – układ równań opisujących zmiany w czasie współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych układu fizycznego wyrażonych przy pomocy funkcji Hamiltona

$\{\begin{array}{c}{\dot{p}}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}\\ [.5em]{\dot{q}}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}\end{array}i=1,\dots ,s$

gdzie:

$p_i$ – $i$-ty pęd uogólniony,

$q_i$ – $i$-ta współrzędna uogólniona,

$s$ – liczba stopni swobody układu,

$H=H(p_1,\dots ,p_s,q_1,\dots ,q_s,t)$ – funkcja Hamiltona układu.

Równania Hamiltona stanowią układ $2s$ równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu.

Równania Hamiltona wyrażone przez nawiasy Poissona

Przy zapisie z użyciem nawiasów Poissona układ ten wygląda bardziej symetrycznie

$\{\begin{array}{c}{\dot{p}}_i=\{p_i,H\}\\ [.5em]{\dot{q}}_i=\{q_i,H\}\end{array}i=1,\dots ,s$

Rozwiązania równań Hamiltona. Trajektoria układu

Rozwiązanie równań Hamiltona przy zadanych warunkach początkowych $\{p_1(0),\dots ,p_s(0),q_1(0),\dots ,q_s(0)\}$(lub brzegowych) daje zależności czasowe położeń $\{q_1(t),\dots ,q_s(t)\}$ i pędów uogólnionych $\{p_1(t),\dots ,p_s(t)\}$ od czasu. Punkt $\{p_1(t),\dots ,p_s(t),q_1(t),\dots ,q_s(t)\}$ kreśli w przestrzeni fazowej trajektorią układu.

Twierdzenie

Jeżeli układ fizyczny znajduje się w polu oddziaływań o potencjale skalarnym, np. ciecz porusza się w polu grawitacyjnym, to pęd cząstek układu jest proporcjonalny do ich prędkości ${\dot{p}}_i=m_i{\dot{q}}_i.$ Ponadto jeżeli równania ruchu cząstek cieczy są równaniami Hamiltona, to ciecz ta jest nieściśliwa, tzn. jej super-prędkość $(\dot{𝒒}(𝒒,𝒑),\dot{𝒑}(𝒒,𝒑))$ ma znikającą dywergencję

$\mathrm{\nabla }\cdot (\dot{𝒒},\dot{𝒑})=0,$

gdzie:

$\mathrm{\nabla }\cdot (\dot{𝒒},\dot{𝒑})=\sum _i(\frac{\partial \dot{q_i}}{\partial q_i}+\frac{\partial \dot{p_i}}{\partial p_i}).$

Zakładając, na wzór elektrodynamiki, istnienie skalarnego potencjału „wektorowego” $H,$ którego odpowiednik rotacji, jak permutacja gradientu z sygnaturą (jeden z wektorów prostopadłych do wektora całkowitego gradientu Hamiltonianu), zagwarantuje znikanie dywergencji podobnie jak w 3 wymiarach dla pól elektromagnetycznych, tzn. takiego, że

${\dot{p}}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i},$

${\dot{q}}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}.$

otrzymujemy z twierdzenia Schwartza o przemienności pochodnych cząstkowych

$\mathrm{\nabla }\cdot (\dot{𝒒},\dot{𝒑})=\sum _i(\frac{{\partial }^{2}H}{\partial q_i\partial p_i}-\frac{{\partial }^{2}H}{\partial p_i\partial q_i})=0.$

Jak widać, także

$\mathrm{\nabla }H\cdot \mathrm{\nabla }H=\sum _i(\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i})=0.$

jeśli zapiszemy równania Hamiltona symbolicznie w sposób skrócony:

$(\dot{𝒒},\dot{𝒑})=\mathrm{\nabla }H,$

$\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p}=p.$

Różniczkując drugie równanie po czasie i wstawiając do niego pierwsze, otrzymujemy równanie Newtona:

$\ddot{x}=-x.$

Rozwiązaniem specjalnym tego równania jest funkcja

$x(t)={\mathrm{e}}^{\lambda t},$

przy czym ${\lambda }^2=-1$ lub równoważnie $\lambda =\pm \mathrm{i}.$

Rozwiązanie musi być funkcją rzeczywistą – stąd $x(t)$ w ogólnym przypadku ma postać:

$x(t)=x(0)\cos t+C\sin t.$

Na podstawie pierwszego równania widać, że całkując powyższe równanie, otrzymamy pęd:

$p(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}x(t)\mathrm{d}t=-x(0)\sin t+C\cos t=-x(0)\sin t+p(0)\cos t.$

Z powyższych rozwiązań otrzymamy

$p(t{)}^2+x(t{)}^2=x(0{)}^2+p(0{)}^2=const.$

Wynik ten przedstawia równanie parametryczne okręgu. Oznacza to, że punktu $[x(t),p(t)]$ porusza się w przestrzeni fazowej po okręgu z częstością równą częstości oscylatora.

Jeśli rozważymy zbiór wielu punktów o różnych warunkach początkowych $x(0),p(0)$ odpowiadający cieczy składającej się z cząstek wypełniających przestrzeń fazową z pewną gęstością początkowa i skoncentrujemy na jednym z nich, to ponieważ wszystkie punkty poruszają z taką sama częstością kołowa, to gęstość cieczy pozostanie stała mino jej ruchu. Oznacza to, że ciecz jest nieściśliwą.

W przypadku oscylatora harmonicznego własność ta oznacza, że tzw. funkcja Wignera (która wyraża gęstość pędu i położenia stanu kwantowego) jedynie się obraca, zachowując w czasie ten sam kształt.