Funkcja Wignera

Funkcja Wignera – w mechanice kwantowej funkcja skonstruowana z funkcji falowej dająca informacje na temat rozkładu pędu i położenia stanu kwantowego w przestrzeni fazowej i umożliwiająca bezpośrednie porównanie rozwiązań równania Schrödingera w reprezentacji położeniowej z rozwiązaniami równań Hamiltona w sensie rozkładu statystycznego gęstości prawdopodobieństwa warunków początkowych. W tym sensie wyraża ona ewolucje czasową zbioru trajektorii klasycznych odpowiadających stanowi kwantowemu zaburzonych przez mechanike kwantową jeśli tylko jest wszędzie dodatnia. Jednak w odróżnieniu od klasycznego rozkładu prawdopodobieństwa warunków początkowych w przestrzeni fazowej istnieją stany dla których przyjmuje ona ujemne wartości, tzn. nie mają one jasnego odpowiednika w klasycznym rozkładzie warunków początkowych (pojawia się ujemne prawdopodobieństwo).

Konstrukcja funkcji Wignera polega na znalezieniu takiej funkcji $W(𝐫,𝐩,t),$ dla której

$\int d^{3}pW(𝐫,𝐩,t)=\mid \psi (𝐫,t){\mid }^2=\rho (𝐫,t),$

$\int d^{3}rW(𝐫,𝐩,t)=\mid \tilde{\psi }(𝐩,t){\mid }^2\frac{1}{h^3}={\rho }_p(𝐩,t).$

Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie $𝐫$ równa jest całce z funkcji $W(𝐫,𝐩,t)$ po zmiennej pędowej, zaś gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie $𝐩$ równa jest całce z funkcji $W(𝐫,𝐩,t)$ po zmiennej położeniowej.

Wigner zauważył, że związki te spełnia następująca biliniowa forma (definicja funkcji Wignera):

$W(𝐫,𝐩,t)=\frac{1}{h^3}\int d^3\lambda {\psi }^{*}(𝐫-\frac{\mathit{\lambda }}{2},t)\psi (𝐫+\frac{\mathit{\lambda }}{2},t)e^{-\frac{i}{h}𝐩\cdot \mathit{\lambda }}.$

Funkcja Wignera zdefiniowana poprzez funkcje falowe jest użyteczna wyłącznie dla stanów czystych. Aby pozbyć się tego ograniczenia można zdefiniować funkcję Wignera w sposób ogólniejszy

$W(𝐫,𝐩,t)=\int d^{3}u{e}^{-i𝐩\cdot 𝐮}⟨𝐫-\frac{1}{2}𝐮|\hat{\rho }|𝐫+\frac{1}{2}𝐮⟩,$

gdzie $\hat{\rho }$ jest macierzą gęstości.

Działanie funkcji Wignera widać najlepiej dla dobrze zlokalizowanyh paczek falowych mających skończony pęd np. dla cząstki swobodnej w jednym wymiarze przestrzennym ze współrzędna $𝐫=x$ opisanej funkcją falową $\psi (x)=N{e}^{ikx}{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}.$ Czynnik $1/2$ mnożący $\lambda$ pojawiający się w symetrycznym wyrażeniu podobnym do splotu funkcji ma podwójne działanie. Wykrywa duże czynniki fazowe pędu w funkcji falowej oraz skaluje gęstość przestrzenną do jej transformaty Fouriera tak aby wyprodukować prawidłową nieoznaczoność pędu. Jeśli gaussowska paczka falowa z fazą zespoloną $ikx$ reprezentującą pęd zlokalizowana jest np. wokoło punktu $x=0$ wtedy jest parzysta w sensie modułu w $\lambda$ tzn. $|\psi (-\lambda /2)|=|\psi (\lambda /2)|$ a znak minus z $\lambda /2$ w argumencie funkcji falowej znosi się ze sprzężeniem zespolonym $*$ produkując całkowity czynnik fazowy pędu w $2\times \lambda /2ik=\lambda ik.$ Dla $x=0$ funkcja Wignera jest więc transformatą Fouriera czynnika fazowego pędu pomnożonego przez przeskalowaną (poszerzoną) gaussowską gęstość przestrzenną w $\lambda /2$ więc jest też funkcją Gaussa z maksimum w okolicy wartości tego pędu. Natomiast dla skończonego $x$ cała funkcja pomnożona jest przez gaussowską gęstość przestrzenną w $x$ niezależną od $\lambda$ co znaczy, że funkcja Wignera w przestrzeni fazowej zlokalizowana jest zarówno w około lokalizacji przestrzennej cząstki jak i lokalizacji w przestrzeni pędu, tzn. wokoło wartości pędu z czynnika fazowego. Natomiast transformata Fouriera gęstości przestrzennej nie jest kwadratem transformaty Fouriera modułu Gaussowskiej funkcji falowej dającej rozkład pędu i przed transformatą potrzebne jest jej przeskalowanie.

Dla gaussowskiej funkcji falowej cząstki swobodnej o pędzie $k$ $(\hslash =1)$

$\psi (x)=N{e}^{ikx}{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}.$

Funkcja Wignera jest po prostu dana przez

$W(x,p)=2N(\pi a{)}^{1/2}{e}^{-\frac{x^2}{a^2}}{e}^{-a^2(p-k{)}^2}.$

czyli jest iloczynem funkcji Gaussa pędu i funkcji Gaussa położenia o rozmyciach $a^2$ i $1/a^2$ jednym będącym odwrotnością drugiego (zasada nieoznaczoności Heisenberga).

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę