Cząstka swobodna

Szablon:Dopracować W nierelatywistycznej mechanice kwantowej cząstkę swobodną opisuje czasowe równanie Schrödingera

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }\psi (\overrightarrow{x},t)+U(x)\psi (\overrightarrow{x},t)=\mathrm{i}\hslash \frac{\partial \psi (\overrightarrow{x},t)}{\partial t}$

z potencjałem $U(x)=0$ (na cząstkę nie działa żadna siła). Rozwiązaniem tego równania jest kombinacja liniowa fal płaskich (paczką falową)

$\psi (\overrightarrow{x},t)=\sum _i{c}_k\exp (\mathrm{i}{\overrightarrow{k}}_i\overrightarrow{x}-\mathrm{i}{\omega }_{i}t),$

gdzie $\overrightarrow{p}=\hslash \overrightarrow{k}$ jest pędem cząstki, $\overrightarrow{k}=\overrightarrow{e}k$ $(\overrightarrow{e}\cdot \overrightarrow{e}=1)$ a $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ jest wektorem falowym skierowanym wzdłuż wektora jednostkowego $\overrightarrow{e}$ dla fali monochromatycznej o długości $\lambda .$ Energia takiej fali jest równa:

$E_i=\frac{p^2}{2m}=\frac{{\hslash }^2{\overrightarrow{k}}_i^2}{2m}=\hslash {\omega }_i.$

Równanie to opisuje zależność dyspersyjną energii od wektora falowego, zależność ta określa prędkość grupową paczki falowej:

$v_{\mathrm{g}\mathrm{i}}=\frac{\partial {\omega }_i}{\partial k_i}.$

Dla cząstki nierelatywistycznej otrzymujemy:

${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{g}}=\frac{\hslash \overrightarrow{k}}{m}=\frac{\overrightarrow{p}}{m},$

podobnie jak w mechanice klasycznej.