Potencjał wektorowy

Potencjał wektorowy pola wektorowego – pojęcie w analizie wektorowej sformułowane w analogii do pojęcia potencjału skalarnego. Przykładem potencjału wektorowego jest potencjał magnetyczny w elektrodynamice klasycznej.

Potencjałem wektorowym pola $𝐁$ nazywamy taką funkcję $𝐀$ (również będącą polem wektorowym), której rotacja jest tożsama z polem $𝐁$Szablon:R.

$𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀.$

Definicja ta nie określa funkcji $𝐀$ jednoznacznie, z uwagi na liniowość operatora rotacji i fakt, że rotacja gradientu pola skalarnego jest zerowa. W konsekwencji, dla dowolnego pola skalarnego $f,$ różniczkowalnego w sposób ciągły, zachodzi równość

$\mathrm{\nabla }\times 𝐀=\mathrm{\nabla }\times (𝐀+\mathrm{\nabla }f).$

Potencjał wektorowy można wprowadzić tylko dla pola bezźródłowego (o zerowej dywergencji)Szablon:R, co zdeterminowane jest przez tożsamość

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐀=0.$

Jeżeli pole $𝐁$ jest bezźródłowe, a do tego znika w nieskończoności, to jego potencjał wektorowy $𝐀$ określony jest całką po całej przestrzeni $V$

$𝐀=\underset{V}{\int }\frac{\mathrm{\nabla }\times 𝐁}{4\pi |𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{d}^3{𝐫}^{\prime },$

zgodnie z twierdzeniem HelmholtzaSzablon:R.