Rotacja

Rotacja lub wirowość – operator różniczkowy w teorii pola, który działając na pole wektorowe tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Oznaczana jest przez $\mathrm{rot}$ lub $\mathrm{curl}$ (z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako $dF.$.

Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe ma potencjał (i odwrotnie: pole dla którego nie można określić potencjału jest polem wirowym).

Definicja formalna

Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla $\mathrm{\nabla }$ i wektora $𝐅:$

$𝐁=\mathrm{rot}(𝐅)=\mathrm{\nabla }\times 𝐅.$

W sensie geometrii różniczkowej rotację pola wektorowego na trójwymiarowej rozmaitości zorientowanej z metryką definiuje się w sposób:

$d(G\circ F)=i_{\mathrm{rot}(F)}\mathrm{\Omega },$

gdzie:

$(G\circ F)=g(F,\bullet ),$

$g$ – tensor metryczny,

$i_{\mathrm{rot}(F)}\mathrm{\Omega }$ – zwężenie formy objętości $\mathrm{\Omega }$ z rot(F).

Rotacja w układzie współrzędnych kartezjańskich

W kartezjańskim układzie współrzędnych $F=[F_x,F_y,F_z]$ mamy więc

$\left[\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x}\\ [.5em]\frac{\partial }{\partial y}\\ [.5em]\frac{\partial }{\partial z}\end{array}\right]\times F=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\\ [.5em]\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\\ [.5em]\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\end{array}\right].$

Notacja macierzowa

W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:

$\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ F_x& F_y& F_z\end{array}\right|,$

gdzie $𝐢,𝐣,𝐤$ są wersorami osi $x,y,z$ układu współrzędnych.

Całość rozpisujemy w następujący sposób:

$(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z})𝐢+(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x})𝐣+(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})𝐤.$

Rotacja w innych układach współrzędnych

W układzie współrzędnych walcowych:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐅(\rho ,\phi ,z)=(\frac{1}{\rho }\frac{\partial F_z}{\partial \phi }-\frac{\partial F_{\phi }}{\partial z}){𝐞}_{\rho }+(\frac{\partial F_{\rho }}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial \rho }){𝐞}_{\phi }+(\frac{1}{\rho }\frac{\partial \rho F_{\phi }}{\partial \rho }-\frac{1}{\rho }\frac{\partial F_{\rho }}{\partial \phi }){𝐞}_z$

W układzie współrzędnych sferycznych:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐅(r,\phi ,\theta )=\left[\frac{1}{r\sin \theta }(\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta F_{\phi })-\frac{\partial F_{\theta }}{\partial \phi })\right]{𝐞}_r+[\frac{1}{r}\frac{\partial (r{F}_{\theta })}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta }]{𝐞}_{\phi }+[\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial F_r}{\partial \phi }-\frac{1}{r}(\frac{\partial }{\partial r}(r{F}_{\phi }))]{𝐞}_{\theta }$

Notacja Einsteina

W notacji Einsteina, z użyciem symbolu Leviego-Civity, jest zapisywana jako:

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F}=\frac{1}{\sqrt{\det g}}{\epsilon }^{ijk}(\frac{\partial F_j}{\partial {\xi }^i}-{{\mathrm{\Gamma }}^{\ell }}_{ij}{F}_{\ell }){\overrightarrow{e}}_k.$

Własności rotacji

Oznaczając przez $F,G$ pola wektorowe, przez $f$ pole skalarne dla $a,b\in ℝ$ zachodzą następujące własności:

• rotacja jest operatorem liniowym dla liczb rzeczywistych

$\mathrm{\nabla }\times (a𝐅+b𝐆)=a\mathrm{\nabla }\times 𝐅+b\mathrm{\nabla }\times 𝐆,$

• rotacja gradientu jest zerowa

$\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }f=\mathrm{𝟎},$

• rotacja z pola wektorowego, które jest iloczynem pola skalarnego i wektorowego:

$\mathrm{\nabla }\times (f𝐅)=\mathrm{\nabla }f\times 𝐅+f\mathrm{\nabla }\times 𝐅,$

• rotacja z iloczynu wektorowego dwóch pól wektorowych:

$\mathrm{\nabla }\times (𝐅\times 𝐆)=(𝐆\cdot \mathrm{\nabla })𝐅-(𝐅\cdot \mathrm{\nabla })𝐆+𝐅(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐆)-𝐆(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅),$

• rotacja z rotacji pola wektorowego $F:$

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐅)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)-\mathrm{\Delta }𝐅,$

• każde pole o zerowej rotacji $(\mathrm{\nabla }\times F=0)$ można przedstawić jako gradient pola skalarnego (istnieje takie pole skalarne V, że $F=-\mathrm{\nabla }V$); zob. twierdzenie Helmholtza.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Curl Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].