Operator różniczkowy

Operator różniczkowy – operator określony na przestrzeni funkcji różniczkowalnych, definiujący proces tworzenia z danej funkcji nowej funkcji za pomocą operacji różniczkowania. Operatorem różniczkowym może być na przykład operator, który tworzy nową funkcję, będącą sumą pierwszej i drugiej pochodnej danej funkcji (patrz: Przykład poniżej).

Dziedziną operatora nazywa się zbiór wszystkich funkcji, na których określony jest dany operator. Przy tym mogą to być funkcje jednej lub wielu zmiennych, funkcje skalarne, wektorowe i ogólnie – funkcje tensorowe.

Definicja

Rozważmy przestrzeń funkcji $f:U\to {ℝ}^m,$ klasy ${𝒞}^N,$ gdzie $U\subseteq {ℝ}^n$ jest zbiorem otwartym. Wówczas operatorem różniczkowym rzędu $N$ określonym na tej przestrzeni nazwiemy operator liniowy

$P(x)=\sum _{|\alpha |⩽N}{c}_{\alpha }(x)D^{\alpha },$

gdzie $\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ jest wielowskaźnikiem, a $c_{\alpha }:U\to ℝ$ są pewnymi funkcjami. Przez $D^{\alpha }$ rozumie się operatory pochodnych cząstkowych dane przez

$D^{\alpha }=\frac{{\partial }^{{\alpha }_1}}{\partial x_1}\dots \frac{{\partial }^{{\alpha }_n}}{\partial x_n}.$

Przykład

Operator różniczkowy $T:C^2((0,1),ℝ)\to C((0,1),ℝ)$ dany jest wzorem:

$Tf=\frac{d^{2}f}{d{x}^2}+\frac{df}{dx}.$

Funkcje, na które można działać operatorem $T,$ muszą być klasy $C^2,$ tj. muszą to być funkcje różniczkowalne co najmniej dwukrotnie. Dziedziną operatora jest więc zbiór funkcji klasy $C^2.$

Np. działając operatorem $T$ na funkcję

$f(x)=e^{-x}(x^2+x+1),$

otrzyma się

$Tf(x)=(\frac{d^2}{d{x}^2}+\frac{d}{dx})(e^{-x}(x^2+x+1)),$

czyli

$Tf(x)=e^{-x}(1-2x).$

Własności operatora różniczkowego

Tw. 1 Operator różniczkowy jest operatorem liniowym, tj.

$T(f_1+f_2)=T(f_1)+T(f_2),$

$T(\alpha f)=\alpha T(f),$

gdzie:

$f_1,f_2$ – dane funkcje,

$\alpha$ – stała liczba.

Tw. 2 Dowolny wielomian utworzony z operatora różniczkowego $T$ też jest operatorem różniczkowym.

Operator różniczkowy nabla

Współrzędne kartezjańskie 3-wymiarowe

Operator nabla $\mathrm{\nabla }$ we współrzędnych kartezjańskich ma postać

$\mathrm{\nabla }=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})=𝐢\frac{\partial }{\partial x}+𝐣\frac{\partial }{\partial y}+𝐤\frac{\partial }{\partial z}.$

Wynik działania operatora nabla zależy od tego, na jaką funkcję działa i w jaki sposób:

• dywergencja – to operacja tworzona przy pomocy operatora $\mathrm{\nabla }$ mnożonego skalarnie przez funkcję wektorową $𝐅=[f_1,f_2,f_3]$; w wyniku powstaje funkcja skalarna

  $\text{div}𝐅\equiv \mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$

• gradient – to operacja tworzona przy pomocy operatora $\mathrm{\nabla }$ mnożonego przez funkcję skalarną; w wyniku powstaje funkcja wektorowa

  $\mathrm{grad}(f)\equiv \mathrm{\nabla }f$

• rotacja – to operacja tworzona przy pomocy operatora $\mathrm{\nabla }$ mnożonego wektorowo przez funkcję wektorową; w wyniku powstaje funkcja wektorowa

  $\mathrm{rot}(𝐅)\equiv \mathrm{\nabla }\times 𝐅$

Czterowymiarowa czasoprzestrzeń

Operator nabla zapisany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni ma 4 współrzędne – analogicznie jak czterowektory czasoprzestrzeni

${\partial }_{\mu }\equiv \frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\equiv (\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},\mathrm{\nabla }).$

Operator nabla jest jednym z najpowszechniejszych operatorów różniczkowych fizyki: występuje np. w równaniach Maxwella (fundamentalne równania elektrodynamiki), w równaniu Schrödingera (fundamentalne równanie mechaniki kwantowej), w równaniu dyfuzji (fundamentalne równanie fizyki transportu). W postaci czterowymiarowej występuje w równaniach fizyki relatywistycznej, np. w równaniu Diraca mechaniki kwantowej, w równaniach Einsteina ogólnej teorii względności.

Operatory utworzone z operatora nabla

• laplasjan – to iloczyn skalarny operatora nabla przez siebie

  $\mathrm{△}\equiv {\mathrm{\nabla }}^2=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$

• dalambercjan – to iloczyn skalarny operatora nabla 4-wymiarowego

  $◻=\mathrm{△}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}$

  lub

  ${\partial }_{\mu }{\partial }^{\nu }=\mathrm{\Delta }-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}$

Zobacz też

Typy operatorów:

• operator liniowy
• operator rzutowy
• operator samosprzężony (hermitowski)
• operator sprzężony hermitowsko
• operator unitarny