Funkcja wektorowa

Funkcja wektorowa – funkcja o wartościach wektorowych, tj. o przeciwdziedzinie będącej przestrzenią liniową.

Przykładami funkcji wektorowych są funkcje opisujące:

• krzywe parametryczne – jednej zmiennej $t$ przyporządkowuje się 2 funkcje (dla krzywych na płaszczyźnie), 3 funkcje (dla krzywych w przestrzeni), $n$ funkcji (dla krzywych w przestrzeni $R^n$),
• powierzchnie parametryczne – dwu zmiennym $t$ przyporządkowuje się 2 funkcje (dla powierzchni w przestrzeni, np. sfera, elipsoida itp.), 3 funkcje (dla powierzchni w przestrzeni $R^4$), $n$ funkcji (dla krzywych w przestrzeni $R^{n+1}$).

W kinematyce: ciału poruszającemu się w przestrzeni można przypisać funkcje wektorowe, zależne od czasu:

• wektor położenia w przestrzeni,
• wektor prędkości,
• wektor przyspieszenia,
• wektor momentu pędu
• itp.

Funkcje wektorowe jednej zmiennej

Funkcje wektorowe o 2 współrzędnych

Niech $t\in R.$

Funkcja $𝐫:R\to R^2$ taka że

$𝐫(t)=x(t)\widehat{𝐢}+y(t)\widehat{𝐣},$

gdzie:

$x(t),y(t)$ – funkcje skalarne, zależne od jednej zmiennej $t,$

$\widehat{𝐢},$ $\widehat{𝐣}$ – wersory układu współrzędnych w $R^2,$

jest funkcją wektorową, która przypisuje zmiennej $t\in R$ wektor $𝐫(t)$ leżący w płaszczyźnie $R^2.$

Funkcję tę można zapisać w postaci wierszowej

$𝐫(t)=[x(t),y(t)]$

lub w postaci kolumny

$𝐫(t)=\left[\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right].$

Przykład

Równanie parametryczne okręgu ma postać:

$𝐫(t)=x(t)\widehat{𝐢}+y(t)\widehat{𝐣},$

gdzie:

$x(t)=r\cdot \cos (t),$

$y(t)=r\cdot \sin (t),$

$t\in ⟨0,2\pi ).$

Funkcje wektorowe o 3 współrzędnych

Funkcja $𝐫:R\to R^3$ taka że

$𝐫(t)=x(t)\widehat{𝐢}+y(t)\widehat{𝐣}+z(t)\widehat{𝐤},$

gdzie:

$x(t),y(t),z(t)$ – funkcje skalarne zmiennej $t,$

$\widehat{𝐢},$ $\widehat{𝐣},$ i $\widehat{𝐤}$ – wersory układu współrzędnych w $R^3,$

jest funkcją wektorową, która przypisuje zmiennej $t\in R$ wektor $𝐫(t)$ leżący w przestrzeni $R^3.$

Funkcję tę można zapisać w postaci wierszowej

$𝐫(t)=[x(t),y(t),z(t)]$

lub w postaci kolumny

$𝐫(t)=\left[\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\\ z(t)\end{array}\right].$

Uogólnienie funkcji wektorowych

Ogólnie funkcję wektorową wielu zmiennych $𝐫(x)=[f_n(x_n)]$ dla $n\in \mathbb{N},$ można zapisać pod postacią:

$𝐫(x)=\left[\begin{array}{c}{f}_1(x_1)\\ f_2(x_2)\\ f_3(x_3)\\ ...\\ f_n(x_n)\end{array}\right].$

Pierwszą Pochodną funkcji wektorowej wielu zmiennych jest macierz Jacobiego.

Zobacz też

• krzywa
• krzywa łańcuchowa
• współrzędne krzywoliniowe

Bibliografia

• T. Trajdos: Matematyka. Część III, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1993. Szablon:ISBN.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Piotr Stachura, Funkcje wektorowe, kanał Khan Academy na YouTube, 30 grudnia 2015 [dostęp 2024-06-22].