Kinematyczne równanie ruchu

Kinematyczne równanie ruchu – zależności określające położenie ciała względem wybranego układu odniesienia w funkcji czasu.

Uwagi ogólne

Funkcje kinematycznych równań ruchu mogą być wyrażone w postaci analitycznej, graficznej lub tabelarycznej. W celu wyrażenia położenia przez funkcje analityczne w układzie odniesienia wprowadza się układ współrzędnych. Funkcje wchodzące w skład równań ruchu muszą być jednoznaczne, w całym zadanym czasie ruchu, ponieważ w danym momencie każdy punkt ciała może znajdować się tylko w jednym, ściśle określonym miejscu. Funkcje te muszą być ciągłe i różniczkowalne. Ich pochodna względem czasu, oznaczająca prędkość, musi być ciągła i różniczkowalna. Druga pochodna oznacza przyspieszenieSzablon:R.

Liczba równań opisujących ruch ciała zależy od liczby niezależnych punktów ciała i rodzaju zagadnienia. Równania mogą być wyrażane jako równania wektorowe. Postać wektorowa kinematycznego równania ruchu to zależność określająca wektor położenia ciała jako funkcję czasu.

Równania punktu materialnego w trójwymiarowej przestrzeni w kartezjańskim układzie współrzędnych w postaci skalarnej określa następującym układem:

$\{\begin{array}{c}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}.$

Wektorowo:

$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(t).$

Obie postaci kinematycznego równania ruchu łączy następujący związek:

$\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k},$

gdzie $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ są wektorami jednostkowymi skierowanymi zgodnie z osiami układu współrzędnych.

Związek z dynamiką

Kinematyczne równanie ruchu jest rozwiązaniem dynamicznego równania ruchu, które ma postać równania różniczkowego. W dowolnym przypadku, szczególnie złożonych sił działających na ciało, rozwiązania analityczne tych równań mogą nie istnieć. Dla takich ruchów równanie kinematyczne nie istnieje.

Tor ruchu

W przypadku ruchów krzywoliniowych kinematyczne równania ruchu mają postać układu równań z parametrem. Parametrem tym jest czas. Eliminując z tych równań czas, można otrzymać jedno równanie współrzędnych przestrzennych, które jest równaniem toru ruchu tego ciała.

Zastosowanie

Kinematyczne równanie ruchu ciała jest wygodną metodą opisu ruchu. Pozwala ono na obliczenie:

• równania toru ciała (przez wyeliminowanie z równań parametru czasu $t$),
• prędkości chwilowej ciała (jest ona pierwszą pochodną wektora położenia względem czasu),
• przyspieszenia chwilowego ciała (jest ono drugą pochodną wektora położenia względem czasu),

Przykłady prostych równań ruchu

• Ruch jednostajny prostoliniowy ($x_0$ – położenie początkowe, $v$ – prędkość)

$x(t)=x_0+vt.$

• Ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony ($x_0$ – położenie początkowe, $v_0$ – prędkość początkowa, $a$ – przyspieszenie)

$x(t)=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2.$

• Rzut ukośny w górę przy osi OY skierowanej pionowo w górę (($x_0,$ $y_0$) – położenie początkowe, $v_0$ – prędkość początkowa, $\alpha$ – kąt wyrzucenia)

$\{\begin{array}{c}x(t)=x_0+v_{0}t\cos (\alpha )\\ y(t)=y_0+v_{0}t\sin (\alpha )-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}.$

• Ruch harmoniczny ($A$ – amplituda, $\omega$ – częstość kołowa, ${\phi }_0$ – faza początkowa)

$x(t)=A\sin (\omega t+{\phi }_0).$

• Ruch po elipsie może być opisany np. równaniami ($a,$ $b$ – długości półosi elipsy)

$x(t)=a\sin (\omega t),$

$y(t)=b\cos (\omega t).$

Gdy $a=b,$ jest to ruch po okręgu, a $\omega$ jest prędkością kątową.