Dynamiczne równanie ruchu

Szablon:Dopracować Szablon:Spis treści Dynamiczne równanie ruchu (różniczkowe równanie ruchu) – równanie różniczkowe, określające szybkość zmian pewnych wielkości fizycznych (np. prędkości, położenia) jako funkcję aktualnego stanu układu^[1]^[2]. Przez równanie ruchu najczęściej rozumiemy II zasadę dynamiki Newtona, zapisaną w postaci równania różniczkowego. W ogólności równanie ruchu dla pojedynczej cząstki można zapisać jako:

m \frac{d^{2} 𝒓}{d t^{2}} = 𝑭 (𝒓, \frac{d 𝒓}{d t}, t),

gdzie funkcja wektorowa $𝑭$ jest siłą działającą na ciało w chwili $t$ w punkcie przestrzeni wyznaczonym przez wektor wodzący $𝒓 .$ Wzór ten redukuje się do prostszej postaci, jeżeli siła dana jest w sposób jawny, np. wynika ze znanego potencjału pola sił.

Jeżeli prawa strona jest funkcją ciągłą, to przez punkt w przestrzeni wyznaczony przy zadanych warunkach brzegowych (położenie i prędkość w danej chwili) przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa. Jeżeli istniałaby istota, która w danej chwili poznałaby położenie i pęd wszystkich cząstek elementarnych we wszechświecie, to zgodnie z prawami mechaniki klasycznej mogłaby poznać prawą stronę powyższego równania i jednoznacznie wyznaczyć tor ruchu każdej z cząstek. Innymi słowy istota ta znałaby przeszłość i przyszłość wszechświata.

Dowolne współrzędne krzywoliniowe

Niech współrzędne krzywoliniowe $q_{1} (t), q_{2} (t), q_{3} (t)$ tworzą układ współrzędnych w przestrzeni $R^{3} .$ Oznaczmy przez $𝒆_{1}, 𝒆_{2}, 𝒆_{3}$ wersory kierunków stycznych do osi tego układuSzablon:R.

Jeżeli $𝒂$ jest wektorem przyspieszenia, to jego rzuty na osie układu współrzędnych można zapisać wzorami:

$a_{i} = 𝒂 𝒆_{i} = \dot{𝒗} 𝐞_{i} = \dot{𝒗} \frac{\partial 𝒓 / \partial q_{i}}{| \partial 𝒓 / \partial q_{i} |}, i = 1, 2, 3 .$

Ponieważ

$\frac{d}{d t} (𝒗 𝒆_{i}) = \dot{𝒗} 𝒆_{i} + 𝒗 \frac{d}{d t} 𝒆_{i} ⟶ \dot{𝒗} 𝒆_{i} = \frac{d}{d t} (𝒗 𝒆_{i}) - 𝒗 \frac{d}{d t} 𝒆_{i}$

zatem

(1) $a_{i} = \frac{d}{d t} (𝒗 𝒆_{i}) - 𝒗 \frac{d}{d t} 𝒆_{i} = \frac{1}{| \partial 𝒓 / \partial q_{i} |} [\frac{d}{d t} (𝒗 \frac{\partial 𝒓}{\partial q_{i}}) - 𝒗 \frac{d}{d t} \frac{\partial 𝒓}{\partial q_{i}}] .$

Na podstawie wzoru dla prędkości

$𝒗 = \frac{\partial 𝒓}{\partial q_{1}} {\dot{q}}_{1} + \frac{\partial 𝒓}{\partial q_{2}} {\dot{q}}_{2} + \frac{\partial 𝒓}{\partial q_{3}} {\dot{q}}_{3}$

mamy

(2) $\frac{\partial 𝒓}{\partial q_{i}} = \frac{\partial 𝒗}{\partial {\dot{q}}_{i}}$

i dzięki temu

$𝒗 \frac{\partial 𝒓}{\partial q_{i}} = 𝒗 \frac{\partial 𝒗}{\partial {\dot{q}}_{i}} = \frac{\partial (v^{2} / 2)}{\partial {\dot{q}}_{i}} .$

Mamy również

(3) $\frac{d}{d t} \frac{\partial 𝒓}{\partial q_{1}} = \frac{\partial^{2} 𝒓}{\partial q_{1}^{2}} {\dot{q}}_{1} + \frac{\partial^{2} 𝒓}{\partial q_{1} \partial q_{2}} {\dot{q}}_{2} + \frac{\partial^{2} 𝒓}{\partial q_{1} \partial q_{3}} {\dot{q}}_{3}$

oraz

(4) $\frac{\partial 𝒗}{\partial q_{1}} = \frac{\partial^{2} 𝒓}{\partial q_{1}^{2}} {\dot{q}}_{1} + \frac{\partial^{2} 𝒓}{\partial q_{2} q_{1}} {\dot{q}}_{2} + \frac{\partial^{2} 𝒓}{\partial q_{3} q_{1}} {\dot{q}}_{3} .$

Z porównania prawych stron (3) i (4) wynika, że

$\frac{d}{d t} \frac{\partial 𝒓}{\partial q_{i}} = \frac{\partial 𝒗}{\partial q_{i}}, i = 1, 2, 3 .$

Mamy zatem

(5) $𝒗 \frac{d}{d t} \frac{\partial 𝒓}{\partial q_{i}} = 𝒗 \frac{\partial 𝒗}{\partial q_{i}} = \frac{\partial (v^{2} / 2)}{\partial q_{i}} .$

Po podstawieniu (2) i (5) do (1) otrzymujemy następujące wzory dla rzutów wektora przyspieszenia na osie krzywoliniowego układu współrzędnych

$a_{i} = \frac{1}{| \partial 𝒓 / \partial q_{i} |} [\frac{d}{d t} \frac{\partial (v^{2} / 2)}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial (v^{2} / 2)}{\partial q_{i}}], i = 1, 2, 3 .$

Podstawowe równanie dynamiki

Podstawowe równanie dynamiki ruchu punktu materialnego o masie $m$ ma postać

m 𝒂 = 𝑭

i jest równoważne trzem równaniom skalarnym we współrzędnych kartezjańskich

m \ddot{x} = F_{x}, m \ddot{y} = F_{y}, m \ddot{z} = F_{z} .

W ogólnym przypadku współrzędnych krzywoliniowych otrzymujemy Szablon:R

\frac{m}{| \partial 𝒓 / \partial q_{i} |} [\frac{d}{d t} \frac{\partial (v^{2} / 2)}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial (v^{2} / 2)}{\partial q_{i}}] = F_{i}, i = 1, 2, 3,

gdzie $F_{i}$ jest rzutem na odpowiednią oś współrzędnych $q_{i}$ wypadkowej $𝑭$ sił działających na punkt materialny, a $𝒗$ prędkością tego punktu.

Zobacz też

Przypisy

Szablon:Przypisy

↑ Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье, Курс теоретическоой механики, t.I, Гос. Издат. технико-теоретической литературы, Москва 1954
↑ G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 1960

[Łojc-1] Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье, Курс теоретическоой механики, t.I, Гос. Издат. технико-теоретической литературы, Москва 1954

[Sus-2] G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 1960

[1]

[2]

Dynamiczne równanie ruchu

Dowolne współrzędne krzywoliniowe

Podstawowe równanie dynamiki

Zobacz też

Przypisy

Menu nawigacyjne

Szukaj