Krzywa łańcuchowa

Plik:Catenary-pm.svg

Krzywe łańcuchowe dla różnych wartości parametru $a$

Krzywa łańcuchowa, linia łańcuchowa – krzywa płaska, której kształt przyjmuje doskonale nierozciągliwa i nieskończenie wiotka lina o niezerowej, jednostajnie rozłożonej masie (tj. o jednorodnej gęstości), swobodnie zwisająca pomiędzy dwiema różnymi podporami w jednorodnym polu grawitacyjnym.

Krzywa łańcuchowa jest przeskalowanym wykresem funkcji cosinusa hiperbolicznego:

$y=a\cosh \left(\frac{x}{a}\right).$

Wyprowadzenie równania

Plik:Krzywa łańcuchowa.jpg

Siły działające na łuk $\widehat{AP}$

Linia (krzywa) łańcuchowa jest rozważana w układzie współrzędnych, tak jak na rysunku obok, symetrycznie względem osi $OY.$ Łuk będzie traktowany jak ciało materialne. Zakłada się, że układ jest w stanie równowagi. Łuk $\widehat{AP}$ podlega działaniom trzech sił $\overrightarrow{T},$ $\overrightarrow{t}$ i $\overrightarrow{F},$ gdzie:

$\overrightarrow{T}$ – siła naprężenia łuku w punkcie $A$ o kierunku stycznej do krzywej w tym punkcie,

$\overrightarrow{t}$ – siła naprężenia łuku w punkcie $P$ o kierunku stycznej do krzywej w tym punkcie,

$\overrightarrow{F}$ – ciężar łuku $\widehat{AP}$ krzywej.

Korzystając z założenia o stanie równowagi, dostaje się:

$\overrightarrow{t}+\overrightarrow{T}+\overrightarrow{F}=0.$

Wektory $\overrightarrow{T},\overrightarrow{F}$ są ortogonalne, więc oznaczając przez $\alpha$ kąt między wektorami $\overrightarrow{t},\overrightarrow{F}$ dostaje się

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{|\overrightarrow{F}|}{|\overrightarrow{T}|}.$

Ciężar łuku wynosi

$|\overrightarrow{F}|=ql,$

gdzie:

$l$ – długość łuku $\widehat{AP},$

$q$ – ciężar jednostki długości.

Stąd

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{q}{|\overrightarrow{T}|}l=\frac{dy}{dx}.$

Ostatecznie dostaje się równanie różniczkowe:

$l=a\frac{dy}{dx},$ gdzie $a=\frac{|\overrightarrow{T}|}{q}.$

Różniczkując je względem $x$ otrzymujemy

$\frac{dl}{dx}=a\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$

i wykorzystując zależność $d{l}^2=d{x}^2+d{y}^2$ dostaje się:

$\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}=a\frac{d^{2}y}{d{x}^2}.$

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego z warunkami początkowymi $y(0)=a,\dot{y}(0)=0.$

Podstawiając:

$\frac{dy}{dx}=p(x),\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{dp}{dx},$

otrzymuje się równanie różniczkowe rzędu pierwszego:

$\sqrt{1+p^2}=a\frac{dp}{dx}\to \frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}=\frac{dx}{a}.$

Teraz rozdziela się zmienne i całkuje:

$\int \frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}=\int \left(\frac{1}{a}\right)dx,$

$\mathrm{arsinh}(p)=\frac{x}{a}+C,$

$p=\sinh (\frac{x}{a}+C).$

Następnie wraca się do podstawienia:

$p(x)=\frac{dy}{dx}=\sinh (\frac{x}{a}+C),$

$y=a\cosh (\frac{x}{a}+C)+D.$

Uwzględniając warunki początkowe otrzymuje się ostatecznie

$y=a\cosh \left(\frac{x}{a}\right),a=\frac{|\overrightarrow{T}|}{q}.$

Zastosowania

Liny wiszące

Plik:Kette Kettenkurve Catenary 2008 PD.JPG

Krzywa łańcuchowa znajduje zastosowanie przy badaniu wiszących lin (np. przewodów elektrycznych, lin metalowych).

Wiszącą linę charakteryzują pewne stałe: strzałka $h$ (zwana też strzałką zwisu bądź zwisem), rozpiętość $2b,$ minimalne zawieszenie $a$ i maksymalne zawieszenie $d.$ W zastosowaniach przydatne są pewne zależności między tymi stałymi.

• Wiadomo, że długość linii łańcuchowej w przedziale $[0,b]$ jest równa:

$l=\sqrt{d^2-a^2},$

skąd otrzymuje się zależność:

$a=\frac{l^2-h^2}{2h}.$

• Zgodnie z równaniem linii łańcuchowej:

$h+a=a\cosh \left(\frac{b}{a}\right),$

czyli:

$h=a\cosh \left(\frac{b}{a}\right)-a.$

Po rozwinięciu prawej strony w szereg Maclaurina otrzymuje się:

$h=a(1+\frac{1}{2!}\frac{b^2}{a^2}+\frac{1}{4!}\frac{b^4}{a^4}+\frac{1}{6!}\frac{b^6}{a^6}+\dots )-a,$

$h=\frac{1}{2!}\frac{b^2}{a}+\frac{1}{4!}\frac{b^4}{a^3}+\frac{1}{6!}\frac{b^6}{a^5}+\dots ,$

co daje przybliżoną zależność:

$a\approx \left(\frac{b^2}{2h}\right).$

• W niektórych obliczeniach technicznych linię łańcuchową zastępuje się parabolą. Wynika to z rozwinięcia funkcji $y=a\cosh \left(\frac{x}{a}\right)$ w szereg Maclaurina:

$y=a(1+\frac{1}{2!}\frac{x^2}{a^2}+\frac{1}{4!}\frac{x^4}{a^4}+\frac{1}{6!}\frac{x^6}{a^6}+\dots ).$

Dla dostatecznie dużej wartości $a$ (dla małej wartości $h$) daje dobre przybliżenie linii łańcuchowej parabolą:

$y\approx a+\frac{x^2}{2a}.$

Łańcuch wiszącego mostu, podtrzymujący pionowymi linami (wantami) nawierzchnię mostu, ma na ogół kształt paraboli.

Stropy

Linię łańcuchową wykorzystuje się przy projektowaniu stropów. Strop zwany arkadą ma kształt opisany równaniem:

$y=c\cosh \left(\frac{x}{a}\right).$

Historia

Pierwsze z rozważań o krzywej, która przyjmuje kształt lekkiego, zwisającego łańcucha zamocowanego na końcach, pojawiło się w „Dialogach” Galileusza z 1632 roku. Stwierdził on, iż jest to parabola. Nie podał wywodów, jedynie wyraził powszechnie przyjęte przekonanie, które prawdopodobnie wytworzyło się wiek wcześniej, gdy Leonardo da Vinci szkicował w swych pracach zawieszone łańcuchy. Wygląda na to, że wszyscy, łącznie z Kartezjuszem, milcząco przyjmowali to za prawdę. Stwierdzenie takie pojawiło się w znanym i cenionym podręczniku Simona Stevina z 1634 r. i poręczał je w zamieszczonych w książce komentarzach Albert Girard, który twierdził też, że 17 lat wcześniej zdołał tego dowieść, ale nie miał w owym momencie czasu na zamieszczenie dowodu w książce Stevina.

W 1646 roku Marin Mersenne (matematyk zajmujący się między innymi teorią liczb) dostał list od zamożnego rządowego funkcjonariusza z Niderlandów, znanego też ze swych poematów i kompozycji, Constantina Huygensa. W liście ojciec chwali się swoim zdolnym, 17-letnim synem Christiaanem. Zainteresowany Mersenne napisał do młodzika, a ten już w pierwszym liście oznajmił, że wbrew stwierdzeniu Galileusza, wiszący łańcuch nie tworzy paraboli, lecz podobną do niej krzywą. Mersenne poprosił o pokazanie dowodu i zapytał jak przy pomocy dodatkowych obciążeń (czyli zewnętrznych sił) zmienić kształt krzywej, by przemieniła się ona w ową parabolę. Wkrótce otrzymał odpowiedź z dowodem. Chociaż ta wymiana listów wprowadziła Christiana Huygensa do świata europejskiej nauki, jego dowód, geometryczny i skomplikowany, pozostał na uboczu rozważań przez następne 20 lat.

Inne podejścia do problemu, łatwiejsze do zrozumienia, zyskały uznanie, ale ciągle nie było wyjaśnienia jak opisać kształt owej krzywej. Dopiero w 1691 Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernoulli i 61-letni Christian Huygens opublikowali rozwiązanie w Acta eruditoriumSzablon:Odn. Huygens zaproponował nazwę, catenaria (Szablon:Łac. – łańcuch), czyli linia łańcuchowa, którą zaproponował w 1690 r. w liście do Leibniza.

Zobacz też

• geometria analityczna
• rachunek wariacyjny
• traktrysa

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• portalwiedzy.onet.pl krzywa łańcuchowa
• Szablon:Cytuj stronę
• Catenary plot
• the gateway arch is not a parabola
• Hanging With Galileo
• Catenary plot and history