Traktrysa

Traktrysa, traktoria, wleczona – krzywa płaska, wzdłuż której porusza się mały obiekt wleczony przez ciągnącego po poziomej płaszczyźnie, przy pomocy nici o stałej długości. Ciągnący porusza się po linii prostej^[1].

Opis matematyczny

Przyjęto założenia, że poziomą prostą jest oś $O x$ i położenie początkowe obiektu oznaczone jest przez punkt $B = (0, b)$ na osi $O y .$ Za parametr $θ (t)$ obrano kąt skierowany między osią $O x$ a wektorem $Q^{'} Q,$ którego początkiem $Q$ jest punkt krzywej, zaś końcem $Q^{'}$ punkt „ciągnący”, poruszający się po osi $O x .$

Dla obiektu wleczonego przyjmującego pozycje $Q$ z przedziału $[0; 4],$ kreślona krzywa przyjmuje postać:

Odcinek stycznej, ograniczony punktem styczności $Q$ z krzywą i punktem $Q^{'}$ przecięcia z osią $O x,$ ma stałą długość $b .$ Oznaczono przez $x (t)$ oraz $y (t)$ wartości współrzędnych punktu $Q$ zakreślającego traktrysę. Wtedy równania mają postać:

{\begin{matrix} y (t) = b \sin θ (t) \\ x (t) = t + b \cos θ (t) \end{matrix}

tg θ (t) = \frac{d y}{d x} = \frac{θ^{'} (t) b \cos θ (t)}{1 - θ^{'} (t) b \sin θ (t)},

θ^{'} (t) = \frac{\sin θ (t)}{b},

stąd

t = b \ln tg \frac{θ}{2} .

Równanie parametryczne traktrysy jest następujące:

Q (θ) = (b \cos θ + b \ln | tg \frac{θ}{2} |, b \sin θ),

gdy:

θ \in (0, π)

otrzymuje się całą traktorię, rozciągającą się w obie strony w nieskończoność i z każdej strony zbliżającą się do osi $O x .$ Oś ta jest asymptotą traktrysy, oś $O y$ zaś osią jej symetrii.

W punkcie $B = (0, b),$ a więc dla $θ = \frac{π}{2}$ istnieje punkt osobliwy (ostrze) krzywej.

Długość łuku traktrysy $B Q$ wynosi:

l = b \ln \frac{b}{y},

zaś jej promień krzywizny:

r = b ctg \frac{x}{y} .

Ewolutą traktrysy, a więc zbiorem wszystkich jej środków krzywizny, jest krzywa łańcuchowa. Obracając traktrysę wokół jej asymptoty dostanie się powierzchnię zwaną pseudosferą