Krzywizna krzywej

Wzory i definicje

Krzywiznę krzywej płaskiej definiuje się jako:

$\kappa =\underset{\mathrm{\Delta }S\to 0}{\lim }\frac{|\mathrm{\Delta }\phi |}{\mathrm{\Delta }S}=\left|\frac{d\phi }{dS}\right|.$

Natomiast krzywiznę ze znakiem:

$\kappa =\underset{\mathrm{\Delta }S\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\mathrm{\Delta }S}=\frac{d\phi }{dS},$

gdzie $\mathrm{\Delta }\phi$ jest kątem pomiędzy stycznymi do krzywej na końcach łuku, a $\mathrm{\Delta }S$ długością tego łuku.

Krzywizna okręgu jest w każdym punkcie jednakowa i równa odwrotności jego promienia.

Wzory na krzywiznę $\kappa$ w punkcie $P(x_0,y_0)$ są następująceSzablon:R:

• Dla krzywej określonej funkcją $y=f(x)$ w układzie kartezjańskim:

$\kappa =\frac{|y^{\prime }{\text{'}}_0|}{(1+{y{\text{'}}_0}^2{)}^{3/2}}.$

• Dla krzywej określonej parametrycznie $x=p(t),y=q(t)$ w układzie kartezjańskim:

$\kappa =\frac{|y^{\prime }{\text{'}}_{0}x{\text{'}}_0-x^{\prime }{\text{'}}_{0}y{\text{'}}_0|}{({x{\text{'}}_0}^2+{y{\text{'}}_0}^2{)}^{3/2}}.$

• Dla krzywej określonej funkcją $r=f(\phi )$ w układzie biegunowym:

$\kappa =\frac{|{r_0}^2+2{r{\text{'}}_0}^2-r_0{r}^{\prime }{\text{'}}_0|}{({r_0}^2+{r{\text{'}}_0}^2{)}^{3/2}}.$

Promieniem krzywizny krzywej w danym punkcie $P$ nazywamy odwrotność jej krzywizny w tym punkcie, obliczonym jednym ze wzorów podanych powyżej:

$R=\frac{1}{\kappa }.$

Środkiem krzywizny krzywej w danym punkcie $P(x_0,y_0)$ nazywamy punkt $S(\xi ,\eta ),$ leżący na normalnej do krzywej w punkcie $P$ po stronie jej wklęsłości w odległości od $P$ równej promieniowi krzywizny.

Wzory na współrzędne środka krzywizny w punkcie $P$ krzywej są następujące:

• Dla krzywej o równaniu $y=f(x):$

$\xi =x_0-y{\text{'}}_0\frac{1+{y{\text{'}}_0}^2}{y^{\prime }{\text{'}}_0},$

$\eta =y_0+\frac{1+{y{\text{'}}_0}^2}{y^{\prime }{\text{'}}_0}.$

• Dla krzywej o równaniach $x=p(t),y=q(t):$

$\xi =x_0-y{\text{'}}_0\frac{{x{\text{'}}_0}^2+{y{\text{'}}_0}^2}{y^{\prime }{\text{'}}_{0}x{\text{'}}_0-y{\text{'}}_0{x}^{\prime }{\text{'}}_0},$

$\eta =y_0+x{\text{'}}_0\frac{{x{\text{'}}_0}^2+{y{\text{'}}_0}^2}{y^{\prime }{\text{'}}_{0}x{\text{'}}_0-y{\text{'}}_0{x}^{\prime }{\text{'}}_0}.$

Dowód

Krzywizna krzywej $y=f(x)$ w punkcie $C=(x_C,y_C)$ jest równa granicy ilorazu kąta $\phi$ pomiędzy stycznymi poprowadzonymi w punktach $C$ i $B=(x_B,y_B)$ a długością łuku $L$ między $C$ a $B,$ gdy $B\to C:$

$\kappa =\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{B\to C}\frac{\phi }{L}.$

Kąt $\phi$ można inaczej zapisać jako różnicę kątów pomiędzy stycznymi:

$\phi =\mathrm{arctg}(f^{\prime }(x_B))-\mathrm{arctg}(f^{\prime }(x_C)).$

Natomiast długość łuku $L$ jako całkę oznaczoną:

$L=\underset{x_C}{\overset{x_B}{\int }}\sqrt{f^{\prime }(t{)}^2+1}dt.$

Wtedy, zważając na to, że $B\to C⟺x_B\to x_C:$

$\kappa =\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x_B\to x_C}\frac{\mathrm{arctg}(f^{\prime }(x_B)-\mathrm{arctg}(f^{\prime }(x_C))}{\underset{x_C}{\overset{x_B}{\int }}\sqrt{f^{\prime }(t{)}^2+1}dt}.$

Ponieważ mamy do czynienia z wyrażeniem nieoznaczonym $\frac{0}{0},$ dlatego stosujemy regułę de l’Hospitala:

$\kappa =\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x_B\to x_C}\frac{\frac{d}{d{x}_B}(\mathrm{arctg}(f^{\prime }(x_B))-\mathrm{arctg}(f^{\prime }(x_C)))}{\frac{d}{d{x}_B}\underset{x_C}{\overset{x_B}{\int }}\sqrt{f^{\prime }(t{)}^2+1}dt}.$

Pochodna $\frac{d}{dx}\mathrm{arctg}(x)$ jest równa $\frac{1}{x^2+1},$ natomiast korzystając z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego, mamy:

$\kappa =\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x_B\to x_C}\frac{f^{″}(x_B)}{f^{\prime }(x_B{)}^2+1}\cdot \frac{1}{\sqrt{f^{\prime }(x_B{)}^2+1}}=\frac{f^{″}(x_C)}{(f^{\prime }(x_C{)}^2+1{)}^{1+1/2}}.$

Dla funkcji uwikłanej $F(x,y)=0$ wystarczy zamienić $f^{\prime }(x)$ na $\frac{dy}{dx}$ przez co wzór przyjmuje następującą postać:

$\kappa =\frac{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}}{{({\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2+1)}^{3/2}}.$

Jest wtedy jednak zależny zarówno od $x,$ jak i $y.$

Podobny tok rozumowania występuje dla krzywych parametrycznych.

Inny dowód

Krzywa dana w sposób jawny

Promień $\rho$ krzywizny krzywej

Dana jest krzywa płaska o równaniu $y=f(x)$ i ciągłych pochodnych $y(x{)}^{\prime },y(x{)}^{″}.$ Na krzywej wyróżnimy dwa jej punkty $P(x_o,y_o)$ i $Q(x_1,y_1).$ Styczne do krzywej poprowadzone w tych punktach opisane są równaniami Szablon:Wzór

Proste prostopadłe do tych stycznych w punktach $P,Q,$ zwane normalnymi, otrzymamy, zmieniając wartości współczynników kierunkowych w równaniach Szablon:LinkWzór Szablon:Wzór

Punkt $S_1(x_s,y_s),$ w którym przecinają się te normalne, otrzymamy, rozwiązując układ równań Szablon:LinkWzór

$x_s=x_o-\lambda f^{\prime }(x_o),$

$y_s=y_o+\lambda ,$

gdzie:

$\lambda =\frac{x_1-x_o+[f(x_1)-f(x_o)]f^{\prime }(x_1)}{f^{\prime }(x_1)-f^{\prime }(x_o)}.$

Dzielimy teraz licznik i mianownik przez $x_1-x_o$ i po przejściu do granicy $x_1\to x_o$ (punkt $S_1(x_s,y_s)$ zmierza do punktu $S_o(x_{*},y_{*})$) otrzymujemy proste wzory dla współrzędnych środka krzywizny krzywej w punkcie $P$

$x^{*}=x_o-{\lambda }^{*}{f}^{\prime }(x_o),y^{*}=y_o+{\lambda }^{*},$

gdzie:

${\lambda }^{*}=\frac{1+[f^{\prime }(x_o){]}^2}{f^{″}(x_o)}.$

Promień krzywizny krzywej $\rho$ otrzymamy z równania

${\rho }^2=(x_o-x^{*}{)}^2+(y_o-y^{*}{)}^2={({\lambda }^{*}{f}^{\prime }(x_o))}^2+{\lambda }^{*2}={\lambda }^{*2}(1+[f^{\prime }(x_o){]}^2)=$

$=\frac{{(1+[f^{\prime }(x_o){]}^2)}^3}{[f^{″}(x_o){]}^2}⟶\rho =\frac{{(1+[f^{\prime }(x_o){]}^2)}^{\frac{3}{2}}}{|f^{″}(x_o)|}.$

Krzywa opisana parametrycznie

Przez dwa punkty $P(x_o,y_o),Q(x_1,y_1)$ krzywejSzablon:R opisanej równaniami $x=x(t),y=y(t)$ przechodzi sieczna dana równaniem

$\frac{y_1-y_o}{x_1-x_o}=\frac{y-y_o}{x-x_o}$ lub $y=y_o=\frac{y_1-y_o}{x_1-x_o}(x-x_o).$

Dzieląc licznik i mianownik przez $t-t_o$ i przechodząc do granicy $x_1\to x_o,$ otrzymujemy

$y-y_o=\frac{{\dot{y}}_o}{{\dot{x}}_o}(x-x_o),$

gdzie ${\dot{x}}_o,{\dot{y}}_o$ są pochodnymi względem parametru $t$ liczonymi w punkcie $P.$

Przez punkty $P,Q$ poprowadzimy dwie normalne o równaniach

$y-y_o=-\frac{{\dot{x}}_o}{{\dot{y}}_o}(x-x_o),y-y_1=-\frac{{\dot{x}}_1}{{\dot{y}}_1}(x-x_1).$

Rozwiązaniem tych równań są współrzędne $x_s,y_s$ punktu $S_1,$ w którym przecinają się proste normalne

$x_s=x_o-\lambda {\dot{y}}_o,y_s=y_o+\lambda {\dot{x}}_o,$

gdzie:

$\lambda =\frac{{\dot{x}}_1(x_1-x_o)+{\dot{y}}_1(y_1-y_o)}{{\dot{x}}_o({\dot{y}}_1-{\dot{y}}_o)-{\dot{y}}_o({\dot{x}}_1-{\dot{x}}_o)}.$

Licznik i mianownik ułamka dzielimy przez $t_1-t_o$ i po przejściu do granicy $t\to t_o$ otrzymujemy współrzędne środka $S_o$ krzywizny krzywej w jej punkcie $P$

$x^{*}=x_o-\lambda {\dot{y}}_o,y^{*}=y_o+\lambda {\dot{x}}_o,\lambda =\frac{{\dot{x}}_o^2+{\dot{y}}_o^2}{{\dot{x}}_o{\ddot{y}}_o-{\dot{y}}_o{\ddot{x}}_o}.$

Promień krzywizny $\rho$ równy jest odległości punktów $P$ i $S_o$

${\rho }^2=(x^{*}-x_o{)}^2+(y^{*}-y_o{)}^2={\lambda }^2(y_o^{\text{'}2}+x_o^{\text{'}2}),$

$\rho =\frac{({\dot{x}}_o^2+{\dot{y}}_o^2{)}^{\frac{3}{2}}}{|{\dot{x}}_o{\ddot{y}}_o-{\dot{y}}_o{\ddot{x}}_o|}.$

Krzywa jako funkcja uwikłana

Dana jest krzywaSzablon:R o równaniu $F(x,y)=0,$ gdzie $F(x,y)$ jest funkcją ciągłą wraz z pochodnymi cząstkowymi dwu pierwszych rzędów w otoczeniu punktu $P(x_o,y_o).$

Jeżeli $F_y(x_o,y_o)\ne 0,$ to w otoczeniu punktu $P$ można funkcji $F$ nadać postać $y=f(x),$ gdzie $f(x_o)=y_o$ i mamy

$f^{\text{'}}(x)=-\frac{F_x}{F_y},f^{{\text{'}}^{\prime }}(x)=-\frac{F_x^2{F}_{yy}-2F_x{F}_y{F}_{xy}+F_y^2{F}_{xx}}{F_y^3}=-\frac{\mathrm{Z}}{F_y^3}.$

Równanie stycznej do krzywej $y-y_o=f^{\text{'}}(x_o)(x-x_o)$ przybiera teraz postać

$F_x(x_o,y_o)(x-x_o)+F_y(x_o,y_o)(y-y_o),$

a równania normalnych w punktach $P(x_o,y_o),Q(x_1,y_1)$

$F_y(x_o,y_o)(x-x_o)-F_x(x_o,y_o)(y-y_o),$

$F_y(x_1,y_1)(x-x_1)-F_x(x_1,y_1)(y-y_1).$

Po wprowadzeniu oznaczeń $F_x(x_o,y_o)=F_{xo},F_y(x_o,y_o)=F_{yo},F_x(x_1,y_1)=F_{x1},F_y(x_1,y_1)=F_{y1}$

rozwiązanie tych równań ma postać

$x=x_o-\lambda F_{ox},y=y_o-\lambda F_{oy},$

$\lambda =\frac{F_{x1}(y_1-y_o)-F_{y1}(x_1-x_o)}{F_{yo}(F_{x1}-F_{xo})-F_{xo}(F_{y1}-F_{yo})}.$

Po przejściu do granicy $Q\to P,$ otrzymujemy

$x^{*}=x_o-{\lambda }^{*}{F}_{ox},y^{*}=y_o-{\lambda }^{*}{F}_{oy},$

gdzie:

${\lambda }^{*}=\frac{F_x^2+F_y^2}{\mathrm{Z}},\mathrm{Z}=F_x^2{F}_{yy}-2F_x{F}_y{F}_{xy}+F_y^2{F}_{xx}.$

Promień krzywizny wyraża się wzorem

${\rho }^2=(x^{*}-x_o{)}^2+(y^{*}-y_o{)}^2=({\lambda }^{*}{F}_x{)}^2+({\lambda }^{*}{F}_y{)}^2,$

$\rho =\frac{(F_x^2+F_y^2{)}^{3/2}}{|\mathrm{Z}|}.$

Przykłady

Obliczanie krzywizny krzywej Lissajous opisanej równaniami:

$x(t)=A\sin (at+\delta ),y(t)=B\sin (bt).$

Wartości poszczególnych pochodnych:

$x^{\prime }(t)=Aa\cos (at+\delta ),$

$y^{\prime }(t)=Bb\cos (bt),$

$x^{″}(t)=-A{a}^2\sin (at+\delta ),$

$y^{″}(t)=-B{b}^2\sin (bt).$

Krzywizna jako funkcja parametru $t:$

$\kappa (t)=\frac{-B{b}^2\sin (bt)\cdot Aa\cos (at+\delta )+A{a}^2\sin (at+\delta )\cdot Bb\cos (bt)}{{(A^2{a}^2{\cos }^2(at+\delta )+B^2{b}^2{\cos }^2(bt))}^{3/2}}.$

W szczególności dla okręgu $A=B=r,a=b=1,\delta =\frac{\pi }{2},$
krzywizna nie zależy od parametru $t:$

$\kappa (t)=\frac{-r\sin (t)\cdot (-r\sin (t))+r\cos (t)\cdot r\cos (t)}{{(r^2{\sin }^2(t)+r^2{\cos }^2(t))}^{3/2}}=\frac{r^2}{r^3}=\frac{1}{r}.$

Natomiast dla elipsy $a=b=1,\delta =\frac{\pi }{2},$
krzywizna zależy od parametru $t:$

$\kappa (t)=\frac{-B\sin (t)\cdot (-A\sin (t))+A\cos (t)\cdot B\cos (t)}{{(A^2{\sin }^2(t)+B^2{\cos }^2(t))}^{3/2}}=\frac{AB}{{(A^2{\sin }^2(t)+B^2{\cos }^2(t))}^{3/2}}.$

Uwaga

W ogólnym przypadku $A\ne B,a\ne b,\delta \in R$ krzywe Lissajous mają przecięcia (istnieją takie $t_1,t_2\in R,$ dla których $x(t_1)=x(t_2),y(t_1)=y(t_2)$).

Zobacz też

• ewoluta
• ewolwenta
• łuk zwykły
• wzory Freneta