Wzory Freneta

Krzywa przestrzenna, wektory T $\equiv$ t, N $\equiv$ n, B $\equiv$ b i płaszczyzna ściśle styczna rozpięta na wektorach T, N i o wektorze normalnym B.

Wzory Fréneta, wzory Fréneta-Serreta – wzory wyrażające zależności pomiędzy wektorami tworzącymi krawędzie tzw. trójścianu Freneta, zaczepionymi w pewnym punkcie badanej krzywej i określającymi jej geometryczne własności przestrzenne w tym punkcie.

Zapis wektorowy

W zapisie wektorowym wzory Freneta mają następującą postać

$\frac{d𝐫}{ds}=𝐭,|𝐭|=1,$

$\frac{d𝐭}{ds}=\frac{1}{\rho }𝐧=𝐍$

$\frac{d𝐧}{ds}=-\frac{1}{\rho }𝐭-\frac{1}{\tau }𝐛$

$\frac{d𝐛}{ds}=\frac{1}{\tau }𝐧$

gdzie:

$s$ – parametr naturalny krzywej (długość łuku),

$𝐫$ – wektor wodzący punktu na krzywej,

$𝐭$ – wektor styczny,

$𝐧(=\rho 𝐍)$ – wektor normalnej głównej,

$𝐛(=\rho 𝐇)$ – wektor binormalny,

$𝐍$ – wektor krzywizny,

$\rho$ – promień krzywizny,

$\kappa (=\frac{1}{\rho })$ – krzywizna krzywej,

$\tau$ – promień torsji krzywej (promień drugiej krzywizny),

$T(=\frac{1}{\tau })$ – torsja krzywej (druga krzywizna),

$𝐇(A,B,C),𝐆(L,M,N)$ – wektory normalne płaszczyzn: ściśle stycznej i prostującej.

Z punktem $P$ na krzywej przestrzennej $K$ można związać dwa lokalne układy ortogonalnych osi liczbowych. Pierwszy z nich jest nieruchomy, prawoskrętny i określony przez wersory $𝐢,𝐣,𝐤.$ Drugi prawoskrętny układ wersorów $𝐭,𝐧,𝐛$ jest związany z krzywą i określa trzy istotne kierunki: styczny, normalny i binormalny. Dwa pierwsze wyznaczone są przez wersory Szablon:Wzór

gdzie: Szablon:Wzór

a trzeci jest definiowanySzablon:R wzorem Szablon:Wzór

Jeżeli krzywa $S$ leży na płaszczyźnie $\pi$ o normalnej $𝐰,$ to wektor binormalnej $𝐛$ do tej krzywej w każdym jej punkcie jest stały i $𝐛=𝐰.$ Płaszczyzna $\pi$ jest w tym przypadku płaszczyzną ściśle styczną dla dowolnego punktu krzywej $S.$

W analizie przestrzennych właściwości krzywych istotną rolę odgrywają pochodne wersorów krawędzi trójścianu Freneta.

Na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór mamy Szablon:Wzór

i różniczkując wzór Szablon:LinkWzór, otrzymujemy Szablon:Wzór

ponieważ $𝐍$ i $𝐧$ są kolinearne. Ponadto z Szablon:LinkWzór wynika, że ${𝐛}^{\text{'}}\cdot 𝐭=0,$ a ponieważ również ${𝐛}^{\text{'}}\cdot 𝐛=0,$

więc Szablon:Wzór

gdzie $\frac{1}{\tau }=T$ jest torsją krzywej w punkcie $P,$ określoną wzorem Szablon:LinkWzór.

Teraz można już obliczyć pochodną normalnej głównej, korzystając ze wzoru $𝐧=𝐛\times 𝐭$ Szablon:Wzór

Poniższa tabelka zawiera kosinusy kierunkowe wersorów Freneta osi stycznej, normalnej i binormalnej z kierunkami osi $0x,0y,0z.$

	x	y	z
$𝐭$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
$𝐧$	${\alpha }_1$	${\beta }_1$	${\gamma }_1$
$𝐛$	${\alpha }_2$	${\beta }_3$	${\gamma }_2$

Wzory dla pochodnych wersorów Freneta zestawiono poniżejSzablon:R.

	$𝐢$	$𝐣$	$𝐤$
${𝐭}^{\text{'}}$	$\frac{{\alpha }_1}{\rho }$	$\frac{{\beta }_1}{\rho }$	$\frac{{\gamma }_1}{\rho }$
${𝐧}^{\text{'}}$	$-\frac{\alpha }{\rho }-\frac{{\alpha }_2}{\tau }$	$-\frac{\beta }{\rho }-\frac{{\beta }_2}{\tau }$	$-\frac{\gamma }{\rho }-\frac{{\gamma }_2}{\tau }$
${𝐛}^{\text{'}}$	$\frac{{\alpha }_1}{\tau }$	$\frac{{\beta }_1}{\tau }$	$\frac{{\gamma }_1}{\tau }$

Torsję krzywej można obliczyć, korzystając ze wzoru Szablon:LinkWzór po uwzględnieniu Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór Szablon:Wzór dzięki temu, że $(𝐭\times 𝐍)\cdot 𝐍=0.$

Torsja $T$ określona w dowolnym punkcie $P$ krzywej $K$ wzorem ${𝐛}^{\text{'}}\cdot 𝐧$ stanowi pewną miarę zwichrowania tej krzywej w bliskim otoczeniu punktu $P.$ Polega ono na wychylaniu się krzywej z jej płaszczyzny ściśle do niej stycznej w tym punkcie. Gdy torsja ma wartość zerową krzywa w otoczeniu punktu $P$ jest płaska, bez zwichrowania.

Zapis parametryczny

Dana jest krzywa przestrzenna $K$ opisana parametrycznie równaniami Szablon:Wzór

Na tej krzywej wyróżnimy dwa punkty $P_o(x_o,y_o,z_o),$ $P_1(x_1,y_1,z_1)$ odpowiadające dwom wartościom $t_o,t_1$ parametru $t.$ Przez te punkty przechodzi sieczna opisana równaniem Szablon:Wzór

Dzieląc mianowniki przez $t_1-t_o$ i przechodząc do granicy $t_1\to t_o,$ otrzymujemy równanie linii stycznej do krzywej $K$ w punkcie $P_o$ Szablon:Wzór

gdzie przez ${\dot{x}}_o,{\dot{y}}_o,{\dot{z}}_o$ oznaczono pochodne względem parametru liczone w punkcie $P_o.$

Równanie o postaci Szablon:LinkWzór jest konsekwencją kolinearności wektorów $𝐫-{𝐫}_o$ i ${\dot{𝐫}}_o.$

Równanie płaszczyzny normalnej ${\sigma }_o$ (prostopadłej) do krzywej w punkcie $P_o$ można zapisać w postaciSzablon:R iloczynu skalarnego wektora stycznego do niej z dowolnym wektorem leżącym w płaszczyźnie ${\sigma }_o$ Szablon:Wzór

Równanie płaszczyzny ściśle stycznej ${\pi }_o$ do krzywej w punkcie $P_o$ zapiszemy w postaci Szablon:Wzór

Problem polega teraz na tym, aby określić współrzędne $A,B,C$ takiego wektora ${𝐇}_o,$ który byłby prostopadły do płaszczyzny ściśle stycznej ${\pi }_o.$

Rozważmy równanie takiej płaszczyzny ${\pi }_1,$ na której leży styczna i która

• przechodzi przez punkt $P_o$ – a zatem każdy jej wektor $𝐫-{𝐫}_o$ jest prostopadły do ${𝐇}_1:$

oraz

• każdy wektor ${𝐫}_1-{𝐫}_o$ leżący na płaszczyźnie ${\pi }_1$ jest prostopadły do ${𝐇}_1:$

Wektor ${𝐇}_1$ jest również prostopadły do wektora stycznego ${\dot{𝐫}}_o,$ który leży na ${\pi }_1:$ Szablon:Wzór

Wykorzystując wzór Taylora zamiast Szablon:LinkWzór, możemy napisać Szablon:Wzór

gdzie $h=t_1-t_o,\lambda =x_o+\theta h,0<\theta <1.$

Po uwzględnieniu Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór otrzymujemy Szablon:Wzór

Można teraz z Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór wyznaczyć niewiadome $A_1{B}_1,C_1$ i na podstawie Szablon:LinkWzór otrzymuje się, po przejściu do granicy $t_1\to t_o$ Szablon:Wzór

Tak więc wektor ${𝐇}_o$ prostopadły do płaszczyzny ściśle stycznej ma współrzędne Szablon:Wzór

Przez punkt $P_o$ krzywej $K$ przechodzą trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny tworzące trójścian Freneta:

• ściśle styczna (o wektorze normalnym ${𝐇}_0(A,B,C)$) – równanie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór,
• normalna (o wektorze normalnym ${\dot{𝐫}}_0({\dot{x}}_0,{\dot{y}}_0,{\dot{z}}_0)$) – równanie Szablon:LinkWzór,
• prostująca (o wektorze normalnym ${𝐆}_0(L,M,N)$) – prostopadła do dwu poprzednich. Jej równanie ma postać

Wektor ${𝐆}_o=(L,M,N)$ jest prostopadły do obydwu wektorów ${𝐇}_o=(A,B,C)$ i ${\dot{𝐫}}_o=({\dot{x}}_o,{\dot{y}}_o,{\dot{z}}_o)$ i dlatego muszą być spełnione dwa równania Szablon:Wzór Szablon:Wzór

Rozwiązanie równań Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór ma postać wzorów Szablon:Wzór

Krawędziami trójścianu Freneta są proste:

• styczna – o wersorze $𝐭$ i równaniu Szablon:LinkWzór,
• normalna główna – o wersorze $𝐧$ i prostopadła do płaszczyzny prostującej, określona równaniem

• binormalna – o wersorze $𝐛$ i prostopadła do płaszczyzny ściśle stycznej, określona równaniem

Zachodzą przy tym następujące tożsamości Szablon:Wzór Szablon:Wzór

• Krzywizna i torsja krzywej

Płaszczyzna normalna do krzywej $K$ w jej punkcie $P_1(x_1,y_1,z_1)$ opisana jest równaniem Szablon:Wzór

gdzie ${𝐭}_1$ jest wektorem stycznym do krzywej w punkcie $P_1.$

Przecina ona normalną główną Szablon:LinkWzór w punkcie $S_1$ o współrzędnych Szablon:Wzór

Po podstawieniu Szablon:LinkWzór do Szablon:LinkWzór i uwzględnieniu Szablon:LinkWzór otrzymujemy wartość parametru Szablon:Wzór

określającą położenie punktu $S_1$ na kierunku normalnej głównej.

Po podzieleniu licznika i mianownika przez $t_1-t_o$ i po przejściu do granicy $t_1\to t_o$ otrzymujemy Szablon:Wzór

Gdy punkt $P_1$ dąży do punktu $P_o$ punkt $S_1$ dąży do punktu $S_o$ o współrzędnych Szablon:Wzór

Po wykorzystaniu tożsamości Szablon:LinkWzór otrzymujemy Szablon:Wzór

Punkt o współrzędnych Szablon:LinkWzór nazywany jest środkiem krzywizny krzywej $K$ w jej punkcie $P_o.$ Miejscem geometrycznym środków krzywizny krzywej $K,$ o współrzędnych $x_{*},y_{*},z_{*},$ jest krzywa $K_{*}$ zwana ewolutą krzywej $K.$

Odległość punktu $S_o$ od punktu $P_o$ jest tak zwanym promieniem krzywizny $\rho$ krzywej w jej punkcie $P_o.$ Odległość tę oblicza się na podstawie wzorów Szablon:LinkWzór po uwzględnieniu tożsamości Szablon:LinkWzór

$\begin{array}{cc}{\rho }^2& =(x_{*}-x_o{)}^2+(y_{*}-y_o{)}^2+(z_{*}-z_o{)}^2\\ & =L^2{\lambda }_o^2+M^2{\lambda }_o^2+N^2{\lambda }_o^2={\lambda }_o^2(L^2+M^2+N^2),\end{array}$

Krzywiznę krzywej określa wzór Szablon:Wzór

Krzywizna $\kappa$ nazywana jest pierwszą krzywizną krzywej dla odróżnienia jej od drugiej krzywizny $T$ nazywanej torsją krzywej. Torsja $T$ jest miarą skrętu krzywej związanego z obrotem trójścianu Freneta dokoła osi stycznej. Obrót ten można obliczyć, wprowadzając do rozważań jednostkowy wektor

$𝐡=\frac{𝐇}{|𝐇|},$

$𝐇=A𝐢+B𝐣+C𝐤=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ x^{\text{'}}& y^{\text{'}}& z^{\text{'}}\\ x^{{\text{'}}^{\prime }}& y^{{\text{'}}^{\prime }}& z^{{\text{'}}^{\prime }}\end{array}\right|,$

dzięki któremu torsję $T$ można zdefiniować wzorem Szablon:Wzór

przy czym Szablon:Wzór

dzięki temu, że po uwzględnieniu tożsamości Lagrange’a Szablon:Wzór

Na podstawie Szablon:LinkWzór i dzięki temu, że $𝐇=\frac{1}{\rho }𝐛,$ otrzymujemy Szablon:Wzór

Przykłady

1. Elipsa

$x(t)=a\cos t,y(t)=b\sin t,z(t)=0,$

$\dot{x}(t)=-a\sin t,\dot{y}(t)=b\cos t,\dot{z}(t)=0,$

$ds(t)=\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}dt=\sigma (t)dt,\frac{dt}{ds}=\frac{1}{\sigma },$

$\sigma (t)=\sqrt{a^2{\sin }^{2}t+b^2{\cos }^{2}t},\dot{\sigma }=\frac{a^2-b^2}{\sigma }\sin t\cos t,$

$x^{\text{'}}(s)=-\frac{a}{\sigma }\sin t,y^{\text{'}}(s)=\frac{b}{\sigma }\cos t,$

$x^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=-\frac{a{b}^2}{{\sigma }^4}\cos t,y^{{\text{'}}^{\prime }}=-\frac{a^{2}b}{{\sigma }^4}\sin t,$

$\rho =\frac{1}{\sqrt{(x^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2+(y^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2}}=\frac{{\sigma }^3}{ab},$

$𝐛=𝐭\times 𝐧=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ -\frac{a}{\sigma }\sin t& \frac{b}{\sigma }\cos t& 0\\ -\frac{b}{\sigma }\cos t& -\frac{a}{\sigma }\sin t& 0\end{array}\right|=(0,0,1),$

$T=0$  -  ponieważ $𝐛=const.$

2. Okrąg na płaszczyźnie o normalnej: $𝐛=(0,-\sin \alpha ,\cos \alpha ).$

$x(t)=r\cos t,y(t)=r\cos \alpha \sin t,z(t)=r\sin \alpha \sin t,$

$\dot{x}(t)=-r\sin t,\dot{y}(t)=r\cos \alpha \cos t,\dot{z}(t)=r\sin \alpha \cos t,$

$ds=\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2}dt=rdt,$

$x^{\text{'}}(s)=-\sin t,y^{\text{'}}(s)=\cos \alpha \cos t,z^{\text{'}}(s)=\sin \alpha \cos t,$

$x^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=-\frac{1}{r}\cos t,y^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=-\frac{1}{r}\cos \alpha \sin t,z^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=-\frac{1}{r}\sin \alpha \sin t,$

$\rho =\frac{1}{\sqrt{(x^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2+(y^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2+(z^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2}}=r,$

$𝐛=𝐭\times 𝐧=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ -\sin t& \cos \alpha \cos t& \sin \alpha \cos t\\ -\cos t& -\cos \alpha \sin t& -\sin \alpha \sin t\end{array}\right|=(0,-\sin \alpha ,\cos \alpha ),$

$T=0$  -  ponieważ $𝐛=const.$

3. Spirala na walcu kołowym, linia śrubowa – krzywa „nawinięta” na walec o promieniu $r.$ Spirala jest prawoskrętna wokoło osi $0z.$

$x(t)=r\cos t,y(t)=r\sin t,z(t)=\frac{hr}{2\pi }t,$

$\dot{x}(t)=-r\sin t,\dot{y}(t)=r\cos t,\dot{z}(t)=\frac{hr}{2\pi },$

$ds=\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2}dt=r\sigma dt,\frac{dt}{ds}=\frac{1}{r\sigma },t=\frac{s}{r}\cos \phi ,$

$\sigma =\sqrt{1+\left(\frac{h^2}{4{\pi }^2}\right)},\frac{1}{\sigma }=\cos \phi ,\frac{h}{2\pi \sigma }=\sin \phi ,$

gdzie $\phi$ jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta względem płaszczyzny $0xy$ kołowego przekroju walca,

$x^{\text{'}}(s)=-\cos \phi \sin t,y^{\text{'}}(s)=\cos \phi \cos t,z^{\text{'}}(s)=\sin \phi ,$

$x^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=-\frac{1}{r}{\cos }^2\phi \cos t,y^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=-\frac{1}{r}{\cos }^2\phi \sin t,z^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=0,$

$\rho =\frac{1}{\sqrt{(x^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2+(y^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2}}=\frac{r}{{\cos }^2\phi },$

stąd

$x^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=-\frac{1}{\rho }\cos t,y^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=-\frac{1}{\rho }\sin t,z^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=0,$

$x^{{\text{'}}^{″}}(s)=\frac{1}{\rho r\sigma }\sin t,y^{{\text{'}}^{″}}(s)=-\frac{r}{\rho r\sigma }\cos t,z^{{\text{'}}^{″}}(s)=0,$

$𝐛=𝐭\times 𝐧=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ -\cos \phi \sin t& \cos \phi \cos t& \sin \phi \\ -\cos t& -\sin t& 0\end{array}\right|=$

$=(\sin \phi \sin t,-\sin \phi \cos t,\cos \phi ),$

$T=-\left|\begin{array}{ccc}-\cos \phi \sin t& \cos \phi \cos t& \sin \phi \\ -\cos t& -\sin t& 0\\ \frac{1}{r\sigma }\sin t& -\frac{1}{r\sigma }\cos t& 0\end{array}\right|=-\frac{1}{r\sigma }\sin \phi =-\frac{1}{r}\cos \phi \sin \phi .$

4. Parabola płaska

$x(t)=t,y(t)=t^2,z(t)=0,$

$\dot{x}(t)=1,\dot{y}(t)=2t,\dot{z}(t)=0,$

$ds(t)=\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2}dt=\sigma (t)dt,\frac{dt}{ds}=\frac{1}{\sigma },$

$\sigma (t)=\sqrt{1+4t^2},\dot{\sigma }(t)=\frac{4t}{\sigma },$

$x^{\text{'}}(s)=\frac{1}{\sigma },y^{\text{'}}(s)=\frac{2t}{\sigma },z^{\prime }(s)=0,$

$x^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=-\frac{4t}{{\sigma }^4},y^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=\frac{2}{{\sigma }^4},z^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=0,$

$\rho =\frac{1}{\sqrt{(x^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2+(y^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2}}=\frac{{\sigma }^3}{2},$

$𝐛=𝐭\times 𝐧=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ \frac{1}{\sigma }& \frac{2t}{\sigma }& 0\\ -\frac{2t}{\sigma }& \frac{1}{\sigma }& 0\end{array}\right|=(0,0,1),$

$T=-{\rho }^2\left|\begin{array}{ccc}{x}^{\text{'}}& y^{\text{'}}& 0\\ x^{{\text{'}}^{\prime }}& y^{{\text{'}}^{\prime }}& 0\\ x^{{\text{'}}^{″}}& y^{{\text{'}}^{″}}& 0\end{array}\right|=0.$

5. Parabola przestrzenna

$x(t)=t,y(t)=t^2,z(t)=ht,$

$\dot{x}(t)=1,\dot{y}(t)=2t,\dot{z}(t)=h,$

$ds(t)=\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2}dt=\sigma (t)dt,\frac{dt}{ds}=\frac{1}{\sigma }$

$\sigma (t)=\sqrt{1+h^2+4t^2},\dot{\sigma }(t)=\frac{4t}{\sigma },$

$x^{\text{'}}(s)=\frac{1}{\sigma },y^{\text{'}}(s)=\frac{2t}{\sigma },z^{\text{'}}(s)=\frac{h}{\sigma },$

$x^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=-\frac{4t}{{\sigma }^4},y^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=\frac{2{\kappa }^2}{{\sigma }^4},z^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=-\frac{4ht}{{\sigma }^4},$

$x^{{\text{'}}^{″}}(s)=-\frac{4}{{\sigma }^7}({\sigma }^2-16t^2),y^{{\text{'}}^{″}}(s)=-\frac{32{\kappa }^{2}t}{{\sigma }^7},z^{{\text{'}}^{″}}(s)=-\frac{4h}{{\sigma }^7}({\sigma }^2-16t^2),$

$\rho =\frac{1}{\sqrt{(x^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2+(y^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2+(z^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2}}=\frac{{\sigma }^3}{2\kappa },\kappa =\sqrt{1+h^2},$

$𝐛=𝐭\times 𝐧=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ \frac{1}{\sigma }& \frac{2t}{\sigma }& \frac{h}{\sigma }\\ -\frac{2t}{\kappa \sigma }& \frac{{\kappa }^2}{\kappa \sigma }& -\frac{2ht}{\kappa \sigma }\end{array}\right|=(-\frac{h}{\kappa },0,\frac{1}{\kappa }),$

$T=-\left|\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sigma }& \frac{2t}{\sigma }& \frac{h}{\sigma }\\ -\frac{2t}{\kappa \sigma }& \frac{{\kappa }^2}{\kappa \sigma }& -\frac{2ht}{\kappa \sigma }\\ -\frac{2}{\kappa {\sigma }^4}({\sigma }^2-16t^2)& -\frac{16{\kappa }^{2}t}{\kappa {\sigma }^4}& -\frac{2h}{\kappa {\sigma }^4}({\sigma }^2-16t^2),\end{array}\right|=0.$

Zerowanie się torsji wynika również bezpośrednio z faktu, że $𝐛=const.$ Rozważana krzywa w całości leży na swojej płaszczyźnie ściśle stycznej o normalnej $𝐛.$

6. Spirala Archimedesa

$x(t)=at\cos t,y(t)=at\sin t,z(t)=0,$

$\dot{x}(t)=a(\cos t-t\sin t),\dot{y}(t)=a(\sin t+t\cos t),\dot{z}(t)=0,$

$ds(t)=\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}dt=\sigma (t)dt,$

$\sigma (t)=a\sqrt{1+t^2},\dot{\sigma }(t)=\frac{a^{2}t}{\sigma },$

$x^{\text{'}}(s)=\frac{a}{\sigma }(\cos t-t\sin t),y^{\text{'}}(s)=\frac{a}{\sigma }(\sin t+t\cos t),z^{\text{'}}(s)=0,$

$x^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=-\frac{a}{{\sigma }^4}(\mu t\cos t+\nu \sin t),\mu =a^2+{\sigma }^2,$

$y^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=\frac{a}{{\sigma }^4}(\nu \cos t-\mu t\sin t),\nu =2{\sigma }^2-a^2{t}^2,$

$\rho =\frac{1}{\sqrt{(x^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2+(y^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2}}=\frac{{\sigma }^4}{\alpha },\alpha =a\sqrt{{\mu }^2{t}^2+{\nu }^2},$

$𝐛=𝐭\times 𝐧=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ \frac{a}{\sigma }(\cos t-t\sin t)& \frac{a}{\sigma }(\sin t+t\cos t)& 0\\ -\frac{a}{\alpha }(\mu t\cos t+\nu \sin t)& \frac{a}{\alpha }(\nu \cos t-\mu t\sin t)& 0\end{array}\right|=$

$=[0,0,\frac{a^2\sigma }{\alpha }(t^2+2)]=(0,0,1),$

$T=0.$

7. Spirala stożkowa – krzywa „nawinięta” na stożek kołowy.

$x(t)=(a+bt)\cos t,y(t)=(a+bt)\sin t,z(t)=ht$

$\dot{x}(t)=b\cos t-(a+bt)\sin t,$

$\dot{y}(t)=b\sin t+(a+bt)\cos t,\dot{z}(t)=h,$

$ds(t)=\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+(\dot{z}{)}^2+}dt=\sigma (t)dt,$

$\sigma (t)=\sqrt{b^2+h^2+(a+bt{)}^2},\dot{\sigma }(t)=\frac{b}{\sigma }(a+bt),$

$x^{\text{'}}(s)=\frac{1}{\sigma }[b\cos t-(a+bt)\sin t],$

$y^{\text{'}}(s)=\frac{1}{\sigma }[b\sin t+(a+bt)\cos t],z^{\text{'}}(s)=\frac{h}{\sigma },$

$x^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=-\frac{1}{{\sigma }^4}(\mu \cos t+\nu \sin t),$

$y^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=\frac{1}{{\sigma }^4}(\nu \cos t-\mu \sin t),z^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=-\frac{bh}{{\sigma }^4}(a+bt),$

$\mu =({\sigma }^2+b^2)(a+bt),\nu =b[2{\sigma }^2-(a+bt{)}^2],$

$\rho =\frac{1}{\sqrt{(x^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2+(y^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2+(z^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2}}=\frac{{\sigma }^4}{\kappa },\kappa =\sqrt{{\mu }^2+{\nu }^2+b^2{h}^2(a+bt{)}^2},$

$𝐛=𝐭\times 𝐧=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ \frac{1}{\sigma }[(b\cos t-(a+bt)\sin t]& \frac{1}{\sigma }[b\sin t+(a+bt)\cos t]& \frac{h}{\sigma }\\ -\frac{1}{\kappa }(\mu \cos t+\nu \sin t)& \frac{1}{\kappa }(\nu \cos t-\mu \sin t)& -\frac{bh}{\kappa }(a+bt)\end{array}\right|=$

$=\{\frac{h\sigma }{\kappa }[-2b\cos t+(a+bt)\sin t],-\frac{h\sigma }{\kappa }[(a+bt)\cos t+2b\sin t],\frac{\sigma }{\kappa }[2b^2+(a+bt{)}^2]\},$

$|𝐛|=1,$

$x^{{\text{'}}^{″}}(s)=-\frac{1}{{\sigma }^7}(\gamma \cos t-\beta \sin t),$

$y^{{\text{'}}^{″}}(s)=-\frac{1}{{\sigma }^7}(\beta \cos t+\gamma \sin t),$

$z^{{\text{'}}^{″}}(s)=-\frac{b^{2}h}{{\sigma }^7}[{\sigma }^2-4(a+bt{)}^2],$

$\beta =\mu {\sigma }^2+4\nu b(a+bt),\gamma =\nu {\sigma }^2-4\mu b(a+bt),$

$T=-\left|\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sigma }[b\cos t-(a+bt)\sin t]& \frac{1}{\sigma }[b\sin t+(a+bt)\cos t]& \frac{h}{\sigma }\\ -\frac{1}{\kappa }(\mu \cos t+\nu \sin t)& \frac{1}{\kappa }(\nu \cos t)-\mu \sin t)& -\frac{bh}{\kappa }(a+bt)\\ -\frac{1}{\kappa {\sigma }^3}(\gamma \cos t-\beta \sin t)& -\frac{1}{\kappa {\sigma }^3}(\beta \cos t+\gamma \sin t)& -\frac{b^{2}h}{\kappa {\sigma }^3}[{\sigma }^2-4(a+bt{)}^2]\end{array}\right|.$

8. Spirala na walcu eliptycznym – krzywa „nawinięta” na taki walec o półosiach $a,b.$

$x(t)=a\cos t,y(t)=b\sin t,z(t)=ht,$

$\dot{x}(t)=-a\sin t,\dot{y}(t)=b\cos t,\dot{z}(t)=h,$

$ds(t)=\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2}dt=\sigma (t)dt,$

$\sigma (t)=\sqrt{a^2{\sin }^{2}t+b^2{\cos }^{2}t+h^2},$

$x^{\text{'}}(s)=-\frac{a}{\sigma }\sin t,y^{\text{'}}(s)=\frac{b}{\sigma }\cos t,z^{\text{'}}(s)=\frac{h}{\sigma },$

$x^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=-\frac{\alpha }{{\sigma }^4}\cos t,y^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=-\frac{\beta }{{\sigma }^4}\sin t,$

$z^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=-\frac{\gamma }{{\sigma }^4}\sin t\cos t,$

$\alpha =a(b^2+h^2),\beta =b(a^2+h^2),\gamma =h(a^2-b^2),$

$\rho =\frac{1}{\sqrt{(x^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2+(y^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2+(z^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2}}=\frac{{\sigma }^4}{\kappa },$

$\kappa =\sqrt{{\alpha }^2{\cos }^{2}t+{\beta }^2{\sin }^{2}t+{\gamma }^2{\sin }^{2}t{\cos }^{2}t},$

$𝐛=𝐭\times 𝐧=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ -\frac{a}{\sigma }\sin t& \frac{b}{\sigma }\cos t& \frac{h}{\sigma }\\ -\frac{\alpha }{\kappa }\cos t& -\frac{\beta }{\kappa }\sin t& -\frac{\gamma }{\kappa }\sin t\cos t\end{array}\right|=$

$=(\frac{bh}{\kappa }\sigma \sin t,-\frac{ah}{\kappa }\sigma \cos t,\frac{ab}{\kappa }\sigma ),$

$x^{{\text{'}}^{″}}(s)=\frac{\alpha }{{\sigma }^7}(\frac{4\gamma }{h}{\cos }^{2}t+{\sigma }^2)\sin t,$

$y^{{\text{'}}^{″}}(s)=\frac{\beta }{{\sigma }^7}(\frac{4\gamma }{h}{\sin }^{2}t+{\sigma }^2)\cos t,$

$z^{{\text{'}}^{″}}(s)=\frac{\gamma }{{\sigma }^7}[\frac{4\gamma }{h}{\sin }^{2}t{\cos }^{2}t-{\sigma }^2({\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t)].$

9. Sinusoida „nawinięta” na walec kołowy.

$x(t)=r\cos t,y(t)=r\sin t,z(t)=h\sin nt,$

$\dot{x}(t)=-r\sin t,\dot{y}(t)=r\cos t,\dot{z}(t)=nh\cos nt,$

$ds(t)=\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2}dt=\sigma (t)dt,$

$\sigma (t)=\sqrt{r^2{\sin }^{2}t+r^2{\cos }^{2}t+n^2{h}^2{\cos }^{2}nt},$

$x^{\text{'}}(s)=-\frac{r}{\sigma }\sin t,y^{\text{'}}(s)=\frac{r}{\sigma }\cos t,z^{\text{'}}(s)=\frac{nh}{\sigma }\cos nt,$

$x^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=-\frac{r}{{\sigma }^4}(\phi \sin t+{\sigma }^2\cos t),$

$y^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=\frac{r}{{\sigma }^4}(\phi \cos t-{\sigma }^2\sin t),z^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=\frac{nh}{{\sigma }^4}\psi ,$

$\phi (nt)=n^3{h}^2\sin nt\cos nt,\psi (nt)=(n^3{h}^2{\cos }^{2}nt-{\sigma }^2)\sin nt,$

$\rho =\frac{1}{\sqrt{(x^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2+(y^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2+(z^{{\text{'}}^{\prime }}{)}^2}}=\frac{{\sigma }^4}{\kappa },$

$\kappa =\sqrt{r^2({\phi }^2+{\sigma }^4)+n^2{h}^2{\psi }^2},$

$𝐛=𝐭\times 𝐧=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ -\frac{r}{\sigma }\sin t& \frac{r}{\sigma }\cos t& \frac{nh}{\sigma }\cos nt\\ -\frac{r}{\kappa }(\phi \sin t+{\sigma }^2\cos t)& \frac{r}{\kappa }(\phi \cos t-{\sigma }^2\sin t)& \frac{nh}{\kappa }\psi \end{array}\right|.$

10. Cykloida

$x(t)=rt-c\sin t,y(t)=r-c\cos t,z(t)=0,$

$\dot{x}(t)=r-c\cos t,\dot{y}(t)=c\sin t,$

$ds=\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}dt=\sigma (t)dt,$

$\sigma (t)=\sqrt{r^2+c^2-2rc\cos t},\dot{\sigma }(t)=\frac{rc}{\sigma }\sin t,$

$x^{\text{'}}(s)=\frac{1}{\sigma }(r-c\cos t),y^{\text{'}}(s)=\frac{c}{\sigma }\sin t,$

$x^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=\frac{1}{{\sigma }^4}(r{c}^2\cos t+{\sigma }^2-r^{2}c)\sin t=\frac{1}{{\sigma }^4}\phi (t),$

$y^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=\frac{1}{{\sigma }^4}({\sigma }^2\cos t-rc{\sin }^{2}t)=\frac{1}{{\sigma }^4}\psi (t),$

$\rho =\frac{{\sigma }^4}{\kappa },\kappa =\sqrt{{\phi }^2+{\psi }^2},$

$𝐛=𝐭\times 𝐧=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ \frac{1}{\sigma }(r-c\cos t)& \frac{c}{\sigma }\sin t& 0\\ \frac{1}{\kappa }\phi (t)& \frac{1}{\kappa }\psi (t)& 0\end{array}\right|=$

$=\{0,0,\frac{1}{\kappa \sigma }[(r-c\cos t)\psi -(c\sin t)\phi ]\}.$

Wzory Freneta w $R^n$

Wzory Freneta zostały uogólnione dla więcej wymiarowych przestrzeni euklidesowych przez C. Jordana w 1874 roku.

Przypuśćmy, że $𝐫(s)$ opisuje gładką krzywą w $R^n,$ sparametryzowaną przez długość łuku $s$ oraz że pierwsze $n$ pochodnych $𝐫(s)$ jest liniowo niezależnych. Geometrycznie oznacza to, że krzywa $𝐫(s)$ nie zawiera się w żadnej hiperpłaszczyźnie o wymiarze $n-1$ (ani w żadnej płaszczyźnie o niższych wymiarach). Wektory układu Freneta są bazą ortogonalną skonstruowaną przy pomocy ortogonalizacji Grama-Schmidta wykonanej na wektorach $𝐫(s),{𝐫}^{\text{'}}(s),{𝐫}^{{\text{'}}^{\prime }}(s),...{𝐫}^{(n)}(s).$

W szczególności, jednostkowy wektor styczny $𝐫(s)$ jest pierwszym wektorem układu Freneta ${𝐞}_1(s)$

${𝐞}_1(s)={𝐫}^{\prime }(s).$

Wektor normalny $\overline{{𝐞}_2}(s),$ czasami nazywany wektorem krzywizny, wskazuje odchylenie krzywej od stycznej linii prostej. Jest zdefiniowany jako

$\overline{{𝐞}_2}(s)={𝐫}^{″}(s)-⟨{𝐫}^{″}(s)\cdot {𝐞}_1(s)⟩{𝐞}_1(s).$

W standardowej formie, jednostkowy wektor normalny jest drugim wektorem układu Freneta ${𝐞}_2(s)$ i jest zdefiniowany jako

${𝐞}_2(s)=\frac{\overline{{𝐞}_2}(s)}{\Vert \overline{{𝐞}_2}(s)\Vert }.$

Wektor styczny i normalny w punkcie $s$ definiują płaszczyznę ściśle styczną w punkcie $𝐫(s).$

Pozostałe wektory układu Freneta (wektor binormalny, trinormalny itd.) są zdefiniowane w sposób analogiczny jako:

${𝐞}_j(s)=\frac{\overline{{𝐞}_j}(s)}{\Vert \overline{{𝐞}_j}(s)\Vert },\overline{{𝐞}_j}(s)={𝐫}^{(j)}(s)-\sum _{i=1}^{j-1}⟨{𝐫}^{(j)}(s)\cdot {𝐞}_i(s)⟩{𝐞}_i(s).$

Funkcje o wartościach rzeczywistych ${\chi }_i(s)$ zdefiniowane jako:

${\chi }_i(s)=⟨{{𝐞}_i}^{\prime }(s)\cdot {𝐞}_{i+1}(s)⟩$

są nazywane krzywiznami uogólnionymi, przy czym symbol $⟨𝐚\cdot 𝐛⟩$ oznacza iloczyn skalarny wektorów $𝐚$ i $𝐛.$

W przypadku n-wymiarowym wzory Fréneta-Serreta mają postać:

${𝐞}_j^{\text{'}}(s)={\chi }_j(s){𝐞}_{j+1}-{\chi }_{j-1}(s){𝐞}_{j-1}$ dla $j=1\dots n.$

W języku macierzy wyglądają tak:

$\left[\begin{array}{c}{{𝐞}_1}^{\prime }(s)\\ ⋮\\ {{𝐞}_n}^{\prime }(s)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& {\chi }_1(s)& & 0\\ -{\chi }_1(s)& \ddots & \ddots & \\ & \ddots & 0& {\chi }_{n-1}(s)\\ 0& & -{\chi }_{n-1}(s)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{𝐞}_1(s)\\ ⋮\\ {𝐞}_n(s)\end{array}\right].$

Zobacz też

• krzywizna krzywej
• ewoluta
• ewolwenta
• torsja krzywej
• Jean Frédéric Frenet

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę