Operator Laplace’a

Operator Laplace’a, laplasjan – operator różniczkowy drugiego rzędu, wprowadzony przez Pierre’a Simona de Laplace’a. W układzie kartezjańskim 3-wymiarowym ma postać:

$\mathrm{\Delta }\equiv {\mathrm{\nabla }}^2=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}.$

Operator ten uogólnia się na przestrzenie euklidesowe $n$-wymiarowe z dowolnymi układami współrzędnych krzywoliniowych (w tym ze współrzędnymi kartezjańskimi) oraz na dowolne przestrzenie riemannowskie i pseudoriemannowskie.

Zastosowania

(1) Operator Laplace’a występuje w wielu równaniach fizyki, np.

• w równaniu przewodnictwa cieplnego
• w równaniu falowym
• jako część hamiltonianu
• jako przestrzenna składowa operatora d’Alemberta

(2) W teorii prawdopodobieństwa laplasjan jest generatorem procesu Wienera.

Operator Laplace’a – współrzędne kartezjańskie

Definicja operatora Laplace’a w $n$-wymiarowym układzie kartezjańskim

$\mathrm{\Delta }\equiv {\mathrm{\nabla }}^2=\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}+\dots +\frac{{\partial }^2}{\partial x_n^2}.$

Operator Laplace’a – ortogonalne współrzędne krzywoliniowe

(1) Operator Laplace’a w $n$-wymiarowym ortogonalnym krzywoliniowym układzie współrzędnych ma postać

$\mathrm{\Delta }=\frac{1}{h_1,h_2,\dots ,h_n}\sum _{i=1}^n\frac{\partial }{\partial q^i}\left(\frac{h_1,h_2,\dots ,h_n}{h_i^2}\frac{\partial }{\partial q^i}\right),$

gdzie:

• $q_i,i=1,\dots ,n$ – współrzędne krzywoliniowe,
• $h_i$ – współczynniki Lamego, tj.
• $h_i=\sqrt{g_{ii}},$

gdzie:

• $g_{ii}$ – wyrazy diagonalne kowariantnego tensora metrycznego we współrzędnych krzywoliniowych.

Zauważmy, że współczynniki Lamego są w ogólności funkcjami współrzędnych (por. przykład poniżej), dlatego nie można ich przesunąć przed pochodną $\frac{\partial }{\partial q^i}$ w powyższym wzorze. Powyższy wzór wyprowadza się wychodząc od definicji operatora Laplace’a w układzie kartezjańskim i dokonując podstawienia pod współrzędne kartezjańskie zależności funkcyjne od innych zmiennych.

(2) W szczególności w układzie 3-wymiarowym mamy

$\mathrm{\Delta }=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}\sum _{i=1}^3\frac{\partial }{\partial q_i}\left(\frac{h_1{h}_2{h}_3}{h_i^2}\frac{\partial }{\partial q_i}\right),$

czyli

$\mathrm{\Delta }=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}[\frac{\partial }{\partial q_1}\left(\frac{h_2{h}_3}{h_1}\frac{\partial }{\partial q_1}\right)+\frac{\partial }{\partial q_2}\left(\frac{h_1{h}_3}{h_2}\frac{\partial }{\partial q_2}\right)+\frac{\partial }{\partial q_3}\left(\frac{h_1{h}_2}{h_3}\frac{\partial }{\partial q_3}\right)].$

Współrzędne sferyczne

Z powyższego ogólnego wzoru można otrzymać w szczególności postać operatora Laplace’a w układzie współrzędnych sferycznych $r,\theta ,\phi$

$\mathrm{\Delta }=\frac{1}{r^2}(\frac{\partial }{\partial r}{r}^2\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2})$

lub

$\mathrm{\Delta }=\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}r+\frac{1}{r^2}(\mathrm{ctg}\theta \frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}).$

Współrzędne walcowe

Z ogólnego wzoru można otrzymać postać operatora Laplace’a w układzie współrzędnych walcowych $\rho ,\theta ,z$

$\mathrm{\Delta }=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial }{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$

Przykład: Obliczenie operatora Laplace’a z ogólnego wzoru

Pokażemy tu, jak obliczyć operator Laplace’a we współrzędnych sferycznych, wychodząc od ogólnego wzoru.

Współrzędne sferyczne $(r,\theta ,\varphi )$ są związane ze współrzędnymi kartezjańskimi $x,y,z$ za pomocą zależności

$\{\begin{array}{c}x=r\sin \theta \cos \varphi \\ y=r\sin \theta \sin \varphi \\ z=r\cos \theta \end{array}$

Kowariantny tensor metryczny ma postać (patrz: tensor metryczny- przykłady)

$g_{ij}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& r^2& 0\\ 0& 0& r^2{\sin }^2\theta \end{array}\right)$

zatem współczynniki Lamego są następujące

$\{\begin{array}{c}{h}_1=1\\ h_2=r\\ h_3=r\sin \theta \end{array}$

Wstawiając powyższe współczynniki Lamego do ogólnego wzoru na laplasjan w $3$-wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych i wykonując różniczkowanie otrzymuje się szukany wzór

$\mathrm{\Delta }=\frac{1}{r^2}(\frac{\partial }{\partial r}{r}^2\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2})$

Operator Laplace’a – dowolne współrzędne krzywoliniowe

Operator Laplace’a w $n$-wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych $q^1,\dots ,q^n$ ma postać

(1) ogólny wzór

${\mathrm{\nabla }}^2=\mathrm{\nabla }{q}^m\cdot \mathrm{\nabla }{q}^n\frac{{\partial }^2}{\partial q^m\partial q^n}+{\mathrm{\nabla }}^2{q}^m\frac{\partial }{\partial q^m}.$

(2) z użyciem symboli ${\mathrm{\Gamma }}_{mn}^l$

${\mathrm{\nabla }}^2=g^{mn}(\frac{{\partial }^2}{\partial q^m\partial q^n}-{\mathrm{\Gamma }}_{mn}^l\frac{\partial }{\partial q^l}),$

gdzie:

$g^{mn}$ – odwrotny tensor metryczny,

${\mathrm{\Gamma }}_{mn}^l$ – symbole Christoffela układu krzywoliniowego.

(3) z użyciem odwrotnego tensora metrycznego $g^{ij}$

${\mathrm{\nabla }}^2=\frac{1}{\sqrt{|\det g|}}\frac{\partial }{\partial q^i}\left(\sqrt{|\det g|}{g}^{ij}\frac{\partial }{\partial q^j}\right),$

gdzie:

$\det g$ – wyznacznik tensora metrycznego.

(patrz równanie Voss-Weyla dotyczące dywergencji)

Związek operatora Laplace’a z gradientem i dywergencją

Słuszne są następujące twierdzenia:

Tw. 1 Laplasjan funkcji skalarnej $f$ jest równy dywergencji z gradientu tej funkcji

$\mathrm{\Delta }f=\mathrm{div}(\mathrm{grad}f)$

lub równoważnie

$\mathrm{\Delta }f\equiv {\mathrm{\nabla }}^2=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f.$

Tw. 2 Laplasjan funkcji wektorowej $\overrightarrow{F}$ wyraża się przez operatory gradientu i rotacji

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{F}=\mathrm{grad}(\mathrm{div}\overrightarrow{F})-\mathrm{rot}(\mathrm{rot}\overrightarrow{F})$

lub równoważnie

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{F}=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F})-\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F}).$

Tw. 3 Laplasjan iloczynu funkcji skalarnych oblicza się według poniższego wzoru

$\mathrm{\Delta }(fg)=f\mathrm{\Delta }(g)+2\mathrm{\nabla }f\cdot \mathrm{\nabla }g+g\mathrm{\Delta }(f)$

lub równoważnie

${\mathrm{\nabla }}^2(fg)=f{\mathrm{\nabla }}^{2}g+2\mathrm{\nabla }f\cdot \mathrm{\nabla }g+g{\mathrm{\nabla }}^{2}f.$

Działanie operatora Laplace’a na funkcję wektorową

Operator Laplace’a działając na funkcję wektorową zapisaną w układzie kartezjańskim w postaci

$\overrightarrow{F}=[F_1,\dots ,F_n]\equiv \sum _{k=1}^n{F}_k{\hat{e}}_k$

tworzy wektor, którego współrzędnymi są wielkości $\mathrm{\Delta }{F}_k$ obliczone z funkcji współrzędnych $F_k$ tej funkcji wektorowej, tj.

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{F}=[\mathrm{\Delta }{F}_1,\dots ,\mathrm{\Delta }{F}_n]$

lub równoważnie

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{F}=\sum _{k=1}^n(\mathrm{\Delta }{F}_k){\hat{e}}_k.$

W innych układach współrzędnych działanie operatora Laplace’a wyraża się bardziej złożonymi wzorami.

Zobacz też

• zagadnienie własne dla operatora Laplace’a

Operatory różniczkowe

(1) Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego

• czterowektor (tu m.in. na temat iloczynu skalarnego 4-wektorów)
• czterogradient
• operator d’Alemberta

(2) Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej

• dywergencja
• gradient
• operator nabla
• operator nabla w różnych układach współrzędnych
• rotacja

(3) Operatory różniczkowe w n-wymiarowej rozmaitości pseudoriemannowskiej

• dywergencja na rozmaitości
• gradient na rozmaitości
• operator Laplace’a na rozmaitości

Bibliografia

• F.W. Byron, R.W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1975, Tom 1.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Laplace operator Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].