Zagadnienie własne dla operatora Laplace’a

Szablon:Dopracować Operator T odwrotny do operatora Laplace’a definiujemy następująco. Rozpatrzmy zagadnienie własne dla równania Poissona z zerowymi warunkami brzegowymi, tj.

$\{\begin{array}{cc}-\mathrm{△}u(x)=\lambda u(x),& x\in \mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^n\\ u(x)=0,& x\in \partial \mathrm{\Omega }\end{array}$

gdzie $\lambda \in ℝ$ jest wartością własną operatora Laplace’a, a funkcja $u(x)\ne 0$ funkcją własną. W języku przestrzeni Sobolewa możemy napisać, że $u\in W_0^{1,2}.$ Zdefiniujmy operator:

$T:L^2(\mathrm{\Omega })\to W_0^{1,2}(\mathrm{\Omega })\subseteq L^2(\mathrm{\Omega })$

następująco:

$T(f)=u\iff -\mathrm{△}u=f,$

tj. $u$ jest słabym rozwiązaniem równania Poissona.

Własności operatora odwrotnego do operatora Laplace’a

1. Operator $T$ jest dobrze określony, liniowy, ciągły.
2. Operator $T$ jest zwarty.
3. Operator $T$ jest samosprzężony.

Wartości własne operatora Laplace’a

Z twierdzenia spektralnego dla operatorów zwartych i samosprzężonych wynika, że:

1. Wszystkie wartości własne operatora Laplace’a na ograniczonym obszarze $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^n$ są dodatnie, mają skończone krotności, a $+\mathrm{\infty }$ jest punktem skupienia wartości własnych.
2. Istnieje baza ortonormalna przestrzeni $L^2(\mathrm{\Omega })$ złożona z funkcji własnych laplasjanu.