Równanie różniczkowe Poissona

Równanie różniczkowe Poissona – niejednorodne równanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu typu eliptycznego.

Równanie to zapisać można w postaci:

${\mathrm{\nabla }}^2$ $u=f$

lub inaczej

$\mathrm{\Delta }$ $u=f.$

Funkcję $f$ zmiennych przestrzennych traktuje się jako znaną.

Szczególne przypadki

Równanie można również zapisać explicite dla przestrzeni o zadanym wymiarze.

Dla przestrzeni trójwymiarowej przyjmuje ono postać równania różniczkowego cząstkowego:

$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}u(x,y,z)+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}u(x,y,z)+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}u(x,y,z)=f(x,y,z),$

a dla dwuwymiarowej:

$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}u(x,y)+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}u(x,y)=f(x,y).$

W przypadku jednowymiarowym równanie Poissona redukuje się do równania różniczkowego zwyczajnego:

$u^{″}(x)=f(x).$

W przypadku jednorodnym, tj. jeśli $f\equiv 0,$ to mamy do czynienia z przypadkiem szczególnym znanym pod nazwą równania różniczkowego Laplace’a.

Równanie Poissona opisuje wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. rozkład pola prędkości cieczy wypływającej ze źródła, potencjał pola grawitacyjnego w obecności źródeł, potencjał pola elektrostatycznego w obecności ładunków, temperaturę wewnątrz ciała przy stałym dopływie ciepła.

Nazwa równania pochodzi od nazwiska Simeona Denisa Poissona, który sformułował je na początku XIX wieku i przeprowadził analizę jego rozwiązań.

Rozwiązania i funkcje Greena

Równanie różniczkowe Poissona z dołączonymi do niego warunkami brzegowymi tworzy eliptyczne zagadnienie brzegowe. Zagadnienie to posiada rozwiązania regularne, o ile warunki brzegowe mają postać ciągłą.

Dla obszaru $U$ i funkcji ciągłych $f$ i $g$ rozwiązaniem równania Poissona $\mathrm{\Delta }u=f$ w obszarze $U$ spełniającym warunek $u=g$ na brzegu $U$ jest

$u(x)=\underset{\partial U}{\int }g(y)\frac{\partial G}{\partial n}(x,y)dS(x,y)+\underset{U}{\int }f(y)G(x,y)dy,$

gdzie $G$ jest funkcją Greena obszaru (o ile dla danego obszaru taka funkcja istnieje).

Funkcją Greena półprzestrzeni ${ℝ}_{+}^n=\{x=(x_1,\dots ,x_n):x_n>0\}$ jest

$G(x,y)=\mathrm{\Gamma }(y-x)-\mathrm{\Gamma }(y-\overline{x}),$

gdzie $\overline{x}=(x_1,\dots ,-x_n),$ a $\mathrm{\Gamma }$ jest rozwiązaniem podstawowym laplasjanu.

Funkcją Greena (hiper)kuli jest

$G(x,y)=\mathrm{\Gamma }(y-x)-\mathrm{\Gamma }(|x|(y-\tilde{x})),$

gdzie $\tilde{x}=\frac{x}{|x{|}^2},$ a $\mathrm{\Gamma }$ jest rozwiązaniem podstawowym laplasjanu.

Zobacz też

• operator Laplace’a
• operator nabla
• równanie różniczkowe Laplace’a

Bibliografia

• Lawrence C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Poisson equation Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].