Operator nabla w różnych układach współrzędnych

Poniżej zestawiono listę formuł analizy wektorowej, gdy prowadzi się obliczenia w układach współrzędnych krzywoliniowych. W przypadkach szczególnych, np. we współrzędnych kartezjańskich, poniższe wzory upraszczają się.

Uwagi

Zastosowano tu typowe oznaczenia współrzędnych stosowane w fizyce. Np. dla współrzędnych sferycznych:

$θ$ oznacza kąt między osią $z$ a wektorem wodzącym łączącym początek układu z rozpatrywanym punktem
$ϕ$ oznacza kąt pomiędzy rzutem wektora wodzącego na płaszczyznę $x y$ a osią $x .$
(W niektórych źródłach definicje $θ$ i $ϕ$ są zamienione, więc znaczenie należy wywnioskować z kontekstu.)

Zamiast symbolu funkcji $arctg (y / x)$ używa się symbolu $arctg2 (y, x)$ dla wskazania, że funkcja $arctg2 (y, x)$ ma przeciwdziedzinę $(- π, π]$ (podczas gdy funkcji $arctg (y / x)$ ma przeciwdziedzinę $(- π / 2, + π / 2)$ )
Wyrażenia na operator nabla we współrzędnych sferycznych mogą wymagać poprawy.

UWAGA: Niektóre symbole użyte w tabeli powtarzają się, mimo że odnoszą się do innych wielkości (ich znaczenie można odczytać z kontekstu)

Tabela z operatorem nabla we współrzędnych walcowych, sferycznych oraz parabolicznych walcowych
Operacja	Współrzędne kartezjańskie $(x, y, z)$	Współrzędne walcowe $(ρ, ϕ, z)$	Współrzędne sferyczne $(r, θ, ϕ)$	Współrzędne paraboliczne walcowe $(σ, τ, z)$
Definicje współrzędnych	$\begin{matrix} ρ & = & \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ ϕ & = & arctg (y / x) \\ z & = & z \end{matrix}$	$\begin{matrix} x & = & ρ \cos ϕ \\ y & = & ρ \sin ϕ \\ z & = & z \end{matrix}$	$\begin{matrix} x & = & r \sin θ \cos ϕ \\ y & = & r \sin θ \sin ϕ \\ z & = & r \cos θ \end{matrix}$	$\begin{matrix} x & = & σ τ \\ y & = & \frac{1}{2} (τ^{2} - σ^{2}) \\ z & = & z \end{matrix}$
Definicje współrzędnych	$\begin{matrix} r & = & \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ θ & = & \arccos (z / r) \\ ϕ & = & arctg (y / x) \end{matrix}$	$\begin{matrix} r & = & \sqrt{ρ^{2} + z^{2}} \\ θ & = & arctg (ρ / z) \\ ϕ & = & ϕ \end{matrix}$	$\begin{matrix} ρ & = & r \sin (θ) \\ ϕ & = & ϕ \\ z & = & r \cos (θ) \end{matrix}$	$\begin{matrix} ρ \cos ϕ & = & σ τ \\ ρ \sin ϕ & = & \frac{1}{2} (τ^{2} - σ^{2}) \\ z & = & z \end{matrix}$
Definicje wersorów	$\begin{matrix} \hat{𝝆} & = & \frac{x}{ρ} \hat{𝐱} + \frac{y}{ρ} \hat{𝐲} \\ \hat{𝝓} & = & - \frac{y}{ρ} \hat{𝐱} + \frac{x}{ρ} \hat{𝐲} \\ \hat{𝐳} & = & \hat{𝐳} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \hat{𝐱} & = & \cos ϕ \hat{𝝆} - \sin ϕ \hat{𝝓} \\ \hat{𝐲} & = & \sin ϕ \hat{𝝆} + \cos ϕ \hat{𝝓} \\ \hat{𝐳} & = & \hat{𝐳} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \hat{𝐱} & = & \sin θ \cos ϕ \hat{𝒓} + \cos θ \cos ϕ \hat{𝜽} - \sin ϕ \hat{𝝓} \\ \hat{𝐲} & = & \sin θ \sin ϕ \hat{𝒓} + \cos θ \sin ϕ \hat{𝜽} + \cos ϕ \hat{𝝓} \\ \hat{𝐳} & = & \cos θ \hat{𝒓} - \sin θ \hat{𝜽} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \hat{𝝈} & = & \frac{τ}{\sqrt{τ^{2} + σ^{2}}} \hat{𝐱} - \frac{σ}{\sqrt{τ^{2} + σ^{2}}} \hat{𝐲} \\ \hat{𝝉} & = & \frac{σ}{\sqrt{τ^{2} + σ^{2}}} \hat{𝐱} + \frac{τ}{\sqrt{τ^{2} + σ^{2}}} \hat{𝐲} \\ \hat{𝐳} & = & \hat{𝐳} \end{matrix}$
Definicje wersorów	$\begin{matrix} \hat{𝐫} & = & \frac{x \hat{𝐱} + y \hat{𝐲} + z \hat{𝐳}}{r} \\ \hat{𝜽} & = & \frac{x z \hat{𝐱} + y z \hat{𝐲} - ρ^{2} \hat{𝐳}}{r ρ} \\ \hat{𝝓} & = & \frac{- y \hat{𝐱} + x \hat{𝐲}}{ρ} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \hat{𝐫} & = & \frac{ρ}{r} \hat{𝝆} + \frac{z}{r} \hat{𝐳} \\ \hat{𝜽} & = & \frac{z}{r} \hat{𝝆} - \frac{ρ}{r} \hat{𝐳} \\ \hat{𝝓} & = & \hat{𝝓} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \hat{𝝆} & = & \sin θ \hat{𝐫} + \cos θ \hat{𝜽} \\ \hat{𝝓} & = & \hat{𝝓} \\ \hat{𝐳} & = & \cos θ \hat{𝐫} - \sin θ \hat{𝜽} \end{matrix}$
Pole wektorowe $𝐀$	$A_{x} \hat{𝐱} + A_{y} \hat{𝐲} + A_{z} \hat{𝐳}$	$A_{ρ} \hat{𝝆} + A_{ϕ} \hat{𝝓} + A_{z} \hat{𝒛}$	$A_{r} \hat{𝒓} + A_{θ} \hat{𝜽} + A_{ϕ} \hat{𝝓}$	$A_{σ} \hat{𝝈} + A_{τ} \hat{𝝉} + A_{ϕ} \hat{𝒛}$
Gradient $\nabla f$	$\frac{\partial f}{\partial x} \hat{𝐱} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{𝐲} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{𝐳}$	$\frac{\partial f}{\partial ρ} \hat{𝝆} + \frac{1}{ρ} \frac{\partial f}{\partial ϕ} \hat{𝝓} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{𝒛}$	$\frac{\partial f}{\partial r} \hat{𝒓} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial θ} \hat{𝜽} + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial f}{\partial ϕ} \hat{𝝓}$	$\frac{1}{\sqrt{σ^{2} + τ^{2}}} \frac{\partial f}{\partial σ} \hat{𝝈} + \frac{1}{\sqrt{σ^{2} + τ^{2}}} \frac{\partial f}{\partial τ} \hat{𝝉} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{𝒛}$
Dywergencja $\nabla \cdot 𝐀$	$\frac{\partial A_{x}}{\partial x} + \frac{\partial A_{y}}{\partial y} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z}$	$\frac{1}{ρ} \frac{\partial (ρ A_{ρ})}{\partial ρ} + \frac{1}{ρ} \frac{\partial A_{ϕ}}{\partial ϕ} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z}$	$\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial (r^{2} A_{r})}{\partial r} + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (A_{θ} \sin θ) + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial A_{ϕ}}{\partial ϕ}$	$\frac{1}{σ^{2} + τ^{2}} \frac{\partial (A_{σ} \sqrt{σ^{2} + τ^{2}})}{\partial σ} + \frac{1}{σ^{2} + τ^{2}} \frac{\partial (A_{τ} \sqrt{σ^{2} + τ^{2}})}{\partial τ} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z}$
Rotacja $\nabla \times 𝐀$	$\begin{matrix} (\frac{\partial A_{z}}{\partial y} - \frac{\partial A_{y}}{\partial z}) \hat{𝐱} & + \\ (\frac{\partial A_{x}}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}}{\partial x}) \hat{𝐲} & + \\ (\frac{\partial A_{y}}{\partial x} - \frac{\partial A_{x}}{\partial y}) \hat{𝐳} \end{matrix}$	$\begin{matrix} (\frac{1}{ρ} \frac{\partial A_{z}}{\partial ϕ} - \frac{\partial A_{ϕ}}{\partial z}) \hat{𝝆} & + \\ (\frac{\partial A_{ρ}}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}}{\partial ρ}) \hat{𝝓} & + \\ \frac{1}{ρ} (\frac{\partial (ρ A_{ϕ})}{\partial ρ} - \frac{\partial A_{ρ}}{\partial ϕ}) \hat{𝒛} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \frac{1}{r \sin θ} (\frac{\partial}{\partial θ} (A_{ϕ} \sin θ) - \frac{\partial A_{θ}}{\partial ϕ}) \hat{𝒓} & + \\ \frac{1}{r} (\frac{1}{\sin θ} \frac{\partial A_{r}}{\partial ϕ} - \frac{\partial}{\partial r} (r A_{ϕ})) \hat{𝜽} & + \\ \frac{1}{r} (\frac{\partial}{\partial r} (r A_{θ}) - \frac{\partial A_{r}}{\partial θ}) \hat{𝝓} \end{matrix}$	$\begin{matrix} (\frac{1}{\sqrt{σ^{2} + τ^{2}}} \frac{\partial A_{z}}{\partial τ} - \frac{\partial A_{τ}}{\partial z}) \hat{𝝈} & - \\ (\frac{1}{\sqrt{σ^{2} + τ^{2}}} \frac{\partial A_{z}}{\partial σ} - \frac{\partial A_{σ}}{\partial z}) \hat{𝝉} & + \\ \frac{1}{\sqrt{σ^{2} + τ^{2}}} (\frac{\partial (ρ A_{ϕ})}{\partial ρ} - \frac{\partial A_{ρ}}{\partial ϕ}) \hat{𝒛} \end{matrix}$
Operator Laplace’a $Δ f = \nabla^{2} f$	$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}$	$\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ} (ρ \frac{\partial f}{\partial ρ}) + \frac{1}{ρ^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial ϕ^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}$	$\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial f}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} f}{\partial ϕ^{2}}$	$\frac{1}{σ^{2} + τ^{2}} (\frac{\partial^{2} f}{\partial σ^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial τ^{2}}) + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}$
Laplasjan wektorowy $Δ 𝐀 = \nabla^{2} 𝐀$	$Δ A_{x} \hat{𝐱} + Δ A_{y} \hat{𝐲} + Δ A_{z} \hat{𝐳}$	$\begin{matrix} (Δ A_{ρ} - \frac{A_{ρ}}{ρ^{2}} - \frac{2}{ρ^{2}} \frac{\partial A_{ϕ}}{\partial ϕ}) \hat{𝝆} & + \\ (Δ A_{ϕ} - \frac{A_{ϕ}}{ρ^{2}} + \frac{2}{ρ^{2}} \frac{\partial A_{ρ}}{\partial ϕ}) \hat{𝝓} & + \\ (Δ A_{z}) \hat{𝒛} \end{matrix}$	$\begin{matrix} (Δ A_{r} - \frac{2 A_{r}}{r^{2}} - \frac{2}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial (A_{θ} \sin θ)}{\partial θ} - \frac{2}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial A_{ϕ}}{\partial ϕ}) \hat{𝒓} & + \\ (Δ A_{θ} - \frac{A_{θ}}{r^{2} \sin^{2} θ} + \frac{2}{r^{2}} \frac{\partial A_{r}}{\partial θ} - \frac{2 \cos θ}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial A_{ϕ}}{\partial ϕ}) \hat{𝜽} & + \\ (Δ A_{ϕ} - \frac{A_{ϕ}}{r^{2} \sin^{2} θ} + \frac{2}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial A_{r}}{\partial ϕ} + \frac{2 \cos θ}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial A_{θ}}{\partial ϕ}) \hat{𝝓} \end{matrix}$
Różniczka przesunięcia	$d 𝐥 = d x \hat{𝐱} + d y \hat{𝐲} + d z \hat{𝐳}$	$d 𝐥 = d ρ \hat{𝝆} + ρ d ϕ \hat{𝝓} + d z \hat{𝒛}$	$d 𝐥 = d r \hat{𝐫} + r d θ \hat{𝜽} + r \sin θ d ϕ \hat{𝝓}$	$d 𝐥 = \sqrt{σ^{2} + τ^{2}} d σ \hat{𝝈} + \sqrt{σ^{2} + τ^{2}} d τ \hat{𝝉} + d z \hat{𝒛}$
Różniczki powierzchni	$\begin{matrix} d 𝐒 = & d y d z \hat{𝐱} + \\ d x d z \hat{𝐲} + \\ d x d y \hat{𝐳} \end{matrix}$	$\begin{matrix} d 𝐒 = & ρ d ϕ d z \hat{𝝆} + \\ d ρ d z \hat{𝝓} + \\ ρ d ρ d ϕ \hat{𝐳} \end{matrix}$	$\begin{matrix} d 𝐒 = & r^{2} \sin θ d θ d ϕ \hat{𝐫} + \\ r \sin θ d r d ϕ \hat{𝜽} + \\ r d r d θ \hat{𝝓} \end{matrix}$	$\begin{matrix} d 𝐒 = & \sqrt{σ^{2} + τ^{2}}, d τ d z \hat{𝝈} + \\ \sqrt{σ^{2} + τ^{2}} d σ d z \hat{𝝉} + \\ σ^{2} + τ^{2} d σ, d τ \hat{𝐳} \end{matrix}$
Różniczka objętości	$d V = d x d y d z$	$d V = ρ d ρ d ϕ d z$	$d V = r^{2} \sin θ d r d θ d ϕ$	$d V = (σ^{2} + τ^{2}) d σ d τ d z,$
Nietrywialne reguły rachunkowe: $div grad f \equiv \nabla \cdot \nabla f = \nabla^{2} f \equiv Δ f$ (Laplasjan) $rot grad f \equiv \nabla \times \nabla f = 𝟎$ $div rot 𝐀 \equiv \nabla \cdot (\nabla \times 𝐀) = 0$ $rot rot 𝐀 = \nabla \times (\nabla \times 𝐀) = \nabla (\nabla \cdot 𝐀) - \nabla^{2} 𝐀$ (stosując formułę Lagrange’a na iloczyn wektorowy) $Δ (f g) = f Δ g + 2 \nabla f \cdot \nabla g + g Δ f$

Zobacz też

Operator nabla w różnych układach współrzędnych

Zobacz też

Menu nawigacyjne

Szukaj