Operator nabla w różnych układach współrzędnych

Poniżej zestawiono listę formuł analizy wektorowej, gdy prowadzi się obliczenia w układach współrzędnych krzywoliniowych. W przypadkach szczególnych, np. we współrzędnych kartezjańskich, poniższe wzory upraszczają się.

Uwagi

• Zastosowano tu typowe oznaczenia współrzędnych stosowane w fizyce. Np. dla współrzędnych sferycznych:

1. $\theta$ oznacza kąt między osią $z$ a wektorem wodzącym łączącym początek układu z rozpatrywanym punktem
2. $\varphi$ oznacza kąt pomiędzy rzutem wektora wodzącego na płaszczyznę $xy$ a osią $x.$
3. (W niektórych źródłach definicje $\theta$ i $\varphi$ są zamienione, więc znaczenie należy wywnioskować z kontekstu.)

• Zamiast symbolu funkcji $\mathrm{arctg}(y/x)$ używa się symbolu $\mathrm{arctg2}(y,x)$ dla wskazania, że funkcja $\mathrm{arctg2}(y,x)$ ma przeciwdziedzinę $(-\pi ,\pi ]$ (podczas gdy funkcji $\mathrm{arctg}(y/x)$ ma przeciwdziedzinę $(-\pi /2,+\pi /2)$)
• Wyrażenia na operator nabla we współrzędnych sferycznych mogą wymagać poprawy.

UWAGA: Niektóre symbole użyte w tabeli powtarzają się, mimo że odnoszą się do innych wielkości (ich znaczenie można odczytać z kontekstu)

Tabela z operatorem nabla we współrzędnych walcowych, sferycznych oraz parabolicznych walcowych

Operacja	Współrzędne kartezjańskie $(x,y,z)$	Współrzędne walcowe $(\rho ,\varphi ,z)$	Współrzędne sferyczne $(r,\theta ,\varphi )$	Współrzędne paraboliczne walcowe $(\sigma ,\tau ,z)$
Definicje współrzędnych	$\begin{array}{ccc}\rho & =& \sqrt{x^2+y^2}\\ \varphi & =& \mathrm{arctg}(y/x)\\ z& =& z\end{array}$	$\begin{array}{ccc}x& =& \rho \cos \varphi \\ y& =& \rho \sin \varphi \\ z& =& z\end{array}$	$\begin{array}{ccc}x& =& r\sin \theta \cos \varphi \\ y& =& r\sin \theta \sin \varphi \\ z& =& r\cos \theta \end{array}$	$\begin{array}{ccc}x& =& \sigma \tau \\ y& =& \frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2)\\ z& =& z\end{array}$
	$\begin{array}{ccc}r& =& \sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \theta & =& \arccos (z/r)\\ \varphi & =& \mathrm{arctg}(y/x)\end{array}$	$\begin{array}{ccc}r& =& \sqrt{{\rho }^2+z^2}\\ \theta & =& \mathrm{arctg}(\rho /z)\\ \varphi & =& \varphi \end{array}$	$\begin{array}{ccc}\rho & =& r\sin (\theta )\\ \varphi & =& \varphi \\ z& =& r\cos (\theta )\end{array}$	$\begin{array}{ccc}\rho \cos \varphi & =& \sigma \tau \\ \rho \sin \varphi & =& \frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2)\\ z& =& z\end{array}$
Definicje wersorów	$\begin{array}{ccc}\hat{\mathit{\rho }}& =& \frac{x}{\rho }\widehat{𝐱}+\frac{y}{\rho }\widehat{𝐲}\\ \hat{\mathit{\varphi }}& =& -\frac{y}{\rho }\widehat{𝐱}+\frac{x}{\rho }\widehat{𝐲}\\ \widehat{𝐳}& =& \widehat{𝐳}\end{array}$	$\begin{array}{ccc}\widehat{𝐱}& =& \cos \varphi \hat{\mathit{\rho }}-\sin \varphi \hat{\mathit{\varphi }}\\ \widehat{𝐲}& =& \sin \varphi \hat{\mathit{\rho }}+\cos \varphi \hat{\mathit{\varphi }}\\ \widehat{𝐳}& =& \widehat{𝐳}\end{array}$	$\begin{array}{ccc}\widehat{𝐱}& =& \sin \theta \cos \varphi \widehat{𝒓}+\cos \theta \cos \varphi \hat{\mathit{\theta }}-\sin \varphi \hat{\mathit{\varphi }}\\ \widehat{𝐲}& =& \sin \theta \sin \varphi \widehat{𝒓}+\cos \theta \sin \varphi \hat{\mathit{\theta }}+\cos \varphi \hat{\mathit{\varphi }}\\ \widehat{𝐳}& =& \cos \theta \widehat{𝒓}-\sin \theta \hat{\mathit{\theta }}\end{array}$	$\begin{array}{ccc}\hat{\mathit{\sigma }}& =& \frac{\tau }{\sqrt{{\tau }^2+{\sigma }^2}}\widehat{𝐱}-\frac{\sigma }{\sqrt{{\tau }^2+{\sigma }^2}}\widehat{𝐲}\\ \hat{\mathit{\tau }}& =& \frac{\sigma }{\sqrt{{\tau }^2+{\sigma }^2}}\widehat{𝐱}+\frac{\tau }{\sqrt{{\tau }^2+{\sigma }^2}}\widehat{𝐲}\\ \widehat{𝐳}& =& \widehat{𝐳}\end{array}$
	$\begin{array}{ccc}\widehat{𝐫}& =& \frac{x\widehat{𝐱}+y\widehat{𝐲}+z\widehat{𝐳}}{r}\\ \hat{\mathit{\theta }}& =& \frac{xz\widehat{𝐱}+yz\widehat{𝐲}-{\rho }^2\widehat{𝐳}}{r\rho }\\ \hat{\mathit{\varphi }}& =& \frac{-y\widehat{𝐱}+x\widehat{𝐲}}{\rho }\end{array}$	$\begin{array}{ccc}\widehat{𝐫}& =& \frac{\rho }{r}\hat{\mathit{\rho }}+\frac{z}{r}\widehat{𝐳}\\ \hat{\mathit{\theta }}& =& \frac{z}{r}\hat{\mathit{\rho }}-\frac{\rho }{r}\widehat{𝐳}\\ \hat{\mathit{\varphi }}& =& \hat{\mathit{\varphi }}\end{array}$	$\begin{array}{ccc}\hat{\mathit{\rho }}& =& \sin \theta \widehat{𝐫}+\cos \theta \hat{\mathit{\theta }}\\ \hat{\mathit{\varphi }}& =& \hat{\mathit{\varphi }}\\ \widehat{𝐳}& =& \cos \theta \widehat{𝐫}-\sin \theta \hat{\mathit{\theta }}\end{array}$
Pole wektorowe $𝐀$	$A_x\widehat{𝐱}+A_y\widehat{𝐲}+A_z\widehat{𝐳}$	$A_{\rho }\hat{\mathit{\rho }}+A_{\varphi }\hat{\mathit{\varphi }}+A_z\widehat{𝒛}$	$A_r\widehat{𝒓}+A_{\theta }\hat{\mathit{\theta }}+A_{\varphi }\hat{\mathit{\varphi }}$	$A_{\sigma }\hat{\mathit{\sigma }}+A_{\tau }\hat{\mathit{\tau }}+A_{\varphi }\widehat{𝒛}$
Gradient $\mathrm{\nabla }f$	$\frac{\partial f}{\partial x}\widehat{𝐱}+\frac{\partial f}{\partial y}\widehat{𝐲}+\frac{\partial f}{\partial z}\widehat{𝐳}$	$\frac{\partial f}{\partial \rho }\hat{\mathit{\rho }}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial f}{\partial \varphi }\hat{\mathit{\varphi }}+\frac{\partial f}{\partial z}\widehat{𝒛}$	$\frac{\partial f}{\partial r}\widehat{𝒓}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }\hat{\mathit{\theta }}+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial f}{\partial \varphi }\hat{\mathit{\varphi }}$	$\frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}}\frac{\partial f}{\partial \sigma }\hat{\mathit{\sigma }}+\frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}}\frac{\partial f}{\partial \tau }\hat{\mathit{\tau }}+\frac{\partial f}{\partial z}\widehat{𝒛}$
Dywergencja $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀$	$\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$	$\frac{1}{\rho }\frac{\partial \left(\rho A_{\rho }\right)}{\partial \rho }+\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }+\frac{\partial A_z}{\partial z}$	$\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left(r^2{A}_r\right)}{\partial r}+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(A_{\theta }\sin \theta )+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }$	$\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}\frac{\partial \left(A_{\sigma }\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}\right)}{\partial \sigma }+\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}\frac{\partial \left(A_{\tau }\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}\right)}{\partial \tau }+\frac{\partial A_z}{\partial z}$
Rotacja $\mathrm{\nabla }\times 𝐀$	$\begin{array}{cc}(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})\widehat{𝐱}& +\\ (\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})\widehat{𝐲}& +\\ (\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})\widehat{𝐳}& \end{array}$	$\begin{array}{cc}(\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_z}{\partial \varphi }-\frac{\partial A_{\varphi }}{\partial z})\hat{\mathit{\rho }}& +\\ (\frac{\partial A_{\rho }}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial \rho })\hat{\mathit{\varphi }}& +\\ \frac{1}{\rho }(\frac{\partial \left(\rho A_{\varphi }\right)}{\partial \rho }-\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \varphi })\widehat{𝒛}& \end{array}$	$\begin{array}{cc}\frac{1}{r\sin \theta }(\frac{\partial }{\partial \theta }(A_{\varphi }\sin \theta )-\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \varphi })\widehat{𝒓}& +\\ \frac{1}{r}(\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial A_r}{\partial \varphi }-\frac{\partial }{\partial r}\left(r{A}_{\varphi }\right))\hat{\mathit{\theta }}& +\\ \frac{1}{r}(\frac{\partial }{\partial r}\left(r{A}_{\theta }\right)-\frac{\partial A_r}{\partial \theta })\hat{\mathit{\varphi }}& \end{array}$	$\begin{array}{cc}(\frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}}\frac{\partial A_z}{\partial \tau }-\frac{\partial A_{\tau }}{\partial z})\hat{\mathit{\sigma }}& -\\ (\frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}}\frac{\partial A_z}{\partial \sigma }-\frac{\partial A_{\sigma }}{\partial z})\hat{\mathit{\tau }}& +\\ \frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}}(\frac{\partial \left(\rho A_{\varphi }\right)}{\partial \rho }-\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \varphi })\widehat{𝒛}& \end{array}$
Operator Laplace’a $\mathrm{\Delta }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f$	$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$	$\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$	$\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\varphi }^2}$	$\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\sigma }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\tau }^2})+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$
Laplasjan wektorowy $\mathrm{\Delta }𝐀={\mathrm{\nabla }}^2𝐀$	$\mathrm{\Delta }{A}_x\widehat{𝐱}+\mathrm{\Delta }{A}_y\widehat{𝐲}+\mathrm{\Delta }{A}_z\widehat{𝐳}$	$\begin{array}{cc}(\mathrm{\Delta }{A}_{\rho }-\frac{A_{\rho }}{{\rho }^2}-\frac{2}{{\rho }^2}\frac{\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi })\hat{\mathit{\rho }}& +\\ (\mathrm{\Delta }{A}_{\varphi }-\frac{A_{\varphi }}{{\rho }^2}+\frac{2}{{\rho }^2}\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \varphi })\hat{\mathit{\varphi }}& +\\ \left(\mathrm{\Delta }{A}_z\right)\widehat{𝒛}& \end{array}$	$\begin{array}{cc}(\mathrm{\Delta }{A}_r-\frac{2A_r}{r^2}-\frac{2}{r^2\sin \theta }\frac{\partial (A_{\theta }\sin \theta )}{\partial \theta }-\frac{2}{r^2\sin \theta }\frac{\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi })\widehat{𝒓}& +\\ (\mathrm{\Delta }{A}_{\theta }-\frac{A_{\theta }}{r^2{\sin }^2\theta }+\frac{2}{r^2}\frac{\partial A_r}{\partial \theta }-\frac{2\cos \theta }{r^2{\sin }^2\theta }\frac{\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi })\hat{\mathit{\theta }}& +\\ (\mathrm{\Delta }{A}_{\varphi }-\frac{A_{\varphi }}{r^2{\sin }^2\theta }+\frac{2}{r^2\sin \theta }\frac{\partial A_r}{\partial \varphi }+\frac{2\cos \theta }{r^2{\sin }^2\theta }\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \varphi })\hat{\mathit{\varphi }}\end{array}$
Różniczka przesunięcia	$d𝐥=dx\widehat{𝐱}+dy\widehat{𝐲}+dz\widehat{𝐳}$	$d𝐥=d\rho \hat{\mathit{\rho }}+\rho d\varphi \hat{\mathit{\varphi }}+dz\widehat{𝒛}$	$d𝐥=dr\widehat{𝐫}+rd\theta \hat{\mathit{\theta }}+r\sin \theta d\varphi \hat{\mathit{\varphi }}$	$d𝐥=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}d\sigma \hat{\mathit{\sigma }}+\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}d\tau \hat{\mathit{\tau }}+dz\widehat{𝒛}$
Różniczki powierzchni	$\begin{array}{cc}d𝐒=& dydz\widehat{𝐱}+\\ & dxdz\widehat{𝐲}+\\ & dxdy\widehat{𝐳}\end{array}$	$\begin{array}{cc}d𝐒=& \rho d\varphi dz\hat{\mathit{\rho }}+\\ & d\rho dz\hat{\mathit{\varphi }}+\\ & \rho d\rho d\varphi \widehat{𝐳}\end{array}$	$\begin{array}{cc}d𝐒=& r^2\sin \theta d\theta d\varphi \widehat{𝐫}+\\ & r\sin \theta drd\varphi \hat{\mathit{\theta }}+\\ & rdrd\theta \hat{\mathit{\varphi }}\end{array}$	$\begin{array}{cc}d𝐒=& \sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2},d\tau dz\hat{\mathit{\sigma }}+\\ & \sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}d\sigma dz\hat{\mathit{\tau }}+\\ & {\sigma }^2+{\tau }^{2}d\sigma ,d\tau \widehat{𝐳}\end{array}$
Różniczka objętości	$dV=dxdydz$	$dV=\rho d\rho d\varphi dz$	$dV=r^2\sin \theta drd\theta d\varphi$	$dV=({\sigma }^2+{\tau }^2)d\sigma d\tau dz,$
Nietrywialne reguły rachunkowe: $\mathrm{div}\mathrm{grad}f\equiv \mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f\equiv \mathrm{\Delta }f$ (Laplasjan) $\mathrm{rot}\mathrm{grad}f\equiv \mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }f=\mathrm{𝟎}$ $\mathrm{div}\mathrm{rot}𝐀\equiv \mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=0$ $\mathrm{rot}\mathrm{rot}𝐀=\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐀$ (stosując formułę Lagrange’a na iloczyn wektorowy) $\mathrm{\Delta }(fg)=f\mathrm{\Delta }g+2\mathrm{\nabla }f\cdot \mathrm{\nabla }g+g\mathrm{\Delta }f$

Zobacz też

• operator nabla
• współrzędne krzywoliniowe