Równanie przewodnictwa cieplnego

Wykres zmian temperatury kwadratowej płyty, obliczony z równania ciepła. Wysokość i zaczerwienienie wykresu określają temperaturę w punktach płyty. Stan początkowy obejmuje równomiernie gorący obszar w kształcie kopyta (czerwony) otoczony równomiernie zimnym obszarem (żółty). W miarę upływu czasu ciepło rozprzestrzenia się w zimnym obszarze.

Numerycznie wyznaczona zmiana temperatury ciała.

Równanie przewodnictwa cieplnego – równanie różniczkowe cząstkowe, opisujące przepływ ciepła przy zadanym jego początkowym rozkładzie w ośrodku oraz przy określonych warunkach brzegowych. Równanie ma postać:

$\{\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial t}u-{\mathrm{△}}_{x}u=0,& x\in {ℝ}^n,t\in {ℝ}_{+}\\ u(x,0)=g(x),& g:{ℝ}^n\to ℝ\end{array}$

gdzie $g(x)$ – początkowy rozkład temperatury w przestrzeni, $u(x,t)$ – szukana zależność rozkładu temperatury w przestrzeni w chwili czasu $t.$

Rozwiązanie równania przewodnictwa

Poszukujemy rozwiązań w klasie regularności $u\in C^2({ℝ}^n\times [0,+\mathrm{\infty }))\cap C^0({ℝ}^n\times (0,+\mathrm{\infty })).$

Rozwiązaniem podstawowym równania przewodnictwa cieplnego jest:

$E(x,t)=(4\pi t{)}^{-n/2}\exp \left(\frac{-|x{|}^2}{4t}\right).$

Można sprawdzić, że spełnia ono równania:

• $\underset{{ℝ}^n}{\int }E(x,t)\mathrm{d}x=1,$
• $E_t-{\mathrm{△}}_{x}E=0.$

Jeśli funkcja $g$ jest ciągła i ograniczona to funkcja

$u(x,t)=\{\begin{array}{cc}\underset{{ℝ}^n}{\int }g(y)E(x-y,t)\mathrm{d}y,& t>0\\ g(x),& t=0\end{array}$

jest rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego, jest ograniczone i jest dodatkowo klasy $C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n\times (0,+\mathrm{\infty }))\cap C^0({ℝ}^n\times [0,+\mathrm{\infty })).$

Używając pojęcia splotu można napisać:

$u(x,t)=(g(\cdot )*E(\cdot ,t))(x).$

Nieskończenie szybkie rozchodzenie się ciepła

Przypuśćmy, że $g$ ma zwarty nośnik i na pewnej kuli B jest $g>0.$ Wówczas

$u(x,t)=\underset{{ℝ}^n}{\int }g(y)E(x-y,t)\mathrm{d}y⩾0$

dla każdego $x\in {ℝ}^n,t>0.$ Zatem ciepło dochodzi w dowolnie małym czasie do każdego punktu przestrzeni, czyli rozchodzi się nieskończenie szybko. Tak oczywiście w rzeczywistości nie jest, dlatego też czasami używa się zaburzonego równania przewodnictwa cieplnego. Do równania wprowadza się wtedy parametr $\tau$ będący czasem relaksacji, na podstawie którego można wyznaczyć prędkość propagacji fali cieplnej:

$v=\sqrt{\frac{D}{\tau }},$

gdzie $D$ to dyfuzyjność cieplna.

Wartość τ jest bardzo mała i wynosi np. 10⁻¹¹ s dla aluminium, 10⁻⁶ s dla ciekłego helu. W przypadku ciekłego helu współczynnik dyfuzji wynosi 10 m²/s, stąd prędkość propagacji 3162 m/s, dlatego w praktyce obliczeniowej przyjmuje się czas relaksacji $\tau =0$ s i co za tym idzie, nieskończoną prędkość propagacji.

Zasada maksimum dla równania przewodnictwa ciepła

Niech $T>0$ ustalony czas, oraz $u(x,t)$ ograniczona funkcja, będąca rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego. Oznaczmy $\mathrm{\Omega }={ℝ}^n\times [0,T]$ oraz ${\mathrm{\Omega }}_0={ℝ}^n\times 0.$ Wówczas

• $\underset{\mathrm{\Omega }}{\sup }u(x,t)=\underset{{\mathrm{\Omega }}_0}{\sup }u(x,0),$
• $\underset{\mathrm{\Omega }}{\inf }u(x,t)=\underset{{\mathrm{\Omega }}_0}{\inf }u(x,0).$

Zasadę maksimum można interpretować fizycznie następująco: w momencie $t=0$ przyjmowana jest największa i najmniejsza wartość temperatury, potem temperatura będzie się stabilizować i „uśredniać”, zachowuje się zatem zgodnie z codziennym doświadczeniem.

Wyprowadzenie równania przewodnictwa

Interpretujemy funkcję $u(x,t)$ jako temperaturę w punkcie przestrzeni x w momencie t. Zakładamy, że ciepło $J(x,t)$ ucieka z najcieplejszego do najzimniejszego miejsca, tj. w kierunku przeciwnym do gradientu temperatury.

$J(x,t)=-k\cdot {▽}_{x}u.$

Ponadto zakładamy, że każdy obszar $V$ ogrzewa się proporcojnalnie do ilości ciepła, która do niego wpłynęła:

$\underset{V}{\int }\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{d}V=-\underset{\partial V}{\int }J\circ n\mathrm{d}V$

A z twierdzenia Gaussa:

$\underset{V}{\int }\mathrm{div}J\mathrm{d}V=\underset{\partial V}{\int }J\circ n\mathrm{d}V,$

gdzie $J\circ n=\frac{\partial J}{\partial n}$ oznacza pochodną normalną funkcji. Zatem dostajemy:

$\underset{V}{\int }(\frac{\partial u}{\partial t}+\mathrm{div}J)\mathrm{d}V=0.$

Z dowolności $V$ mamy:

$\frac{\partial u}{\partial t}+\mathrm{div}J=0,$

czyli:

$\frac{\partial u}{\partial t}-k{\mathrm{△}}_{x}u=0.$

Poprawność zagadnienia

W ogólności, tzn. dla dowolnie wybranej funkcji $g,$ zagadnienie nie jest dobrze postawione, gdyż rozwiązania nie są jednoznaczne. Jeden z przykładów został podany przez Tichonowa.

W klasie ograniczonych rozwiązań równania, tj. $u\in C^2({ℝ}^n\times (0,+\mathrm{\infty }))\cap C^0({ℝ}^n\times (0,+\mathrm{\infty })\cap L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n\times [0,+\mathrm{\infty }))$ zagadnienie ma jednoznaczne rozwiązanie i jest dobrze postawione.

Zobacz też

• ciepło
• przewodność cieplna
• przewodzenie ciepła

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Grant Sanderson, Solving the heat equation, kanał 3blue1brown na YouTube, 16 czerwca 2019 [dostęp 2021-03-15].
• Szablon:Otwarty dostęp The Heat Equation + Special Announcement!, kanał PBS Infinite Series na YouTube, 17 listopada 2017 [dostęp 2024-08-29].