Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa

Sfera jednostkowa z wektorami powierzchni

Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową (potrójną) i na odwrót, w zależności od potrzeb, w której funkcją podcałkową po objętości jest dywergencja pola wektorowego $\overrightarrow{a}.$

Stosowane jest w elektrodynamice teoretycznej, przede wszystkim w teorii pola, elektronice, telekomunikacji i energetyce.

Teza

Niech $V\subset {ℝ}^3$ będzie obszarem ograniczonym powierzchnią zamkniętą $S,$ a $P(x,y,z),Q(x,y,z)$ i $R(x,y,z)$ będą funkcjami mającymi ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze $V.$ Prawdziwa jest wówczas następująca zależność:

$\underset{S}{\iint }(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)=\underset{V}{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz.$

Przy czym całka po lewej stronie liczona jest po zewnętrznej stronie powierzchni $S.$

Dowód

Niech $V$ oznacza rzut na płaszczyznę $XOY$ oraz dla $D\subseteq V,$ niech

$\overline{V}=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3:(x,y)\in \overline{D}\wedge z\in [g_1(x,y),g_2(x,y)]\}$

Podzielmy powierzchnię $S$ na trzy takie części $S_1,S_2,S_3,$ że:

$S_1=\{(x,y,g_1(x,y)):(x,y)\in D\}$

$S_2=\{(x,y,z):(x,y)\in \partial D\wedge z\in [g_1(x,y),g_2(x,y)]\}$

$S_3=\{(x,y,g_2(x,y)):(x,y)\in D\},$

przy czym $\partial D$ oznacza brzeg obszaru $D.$

Dla $S_2$ trzecia składowa wektora normalnego wynosi zero, zaś dla $S_1$ wektor normalny ma postać

$\pm [\frac{\partial g_1}{\partial x},\frac{\partial g_1}{\partial y},-1].$

Jednak wiemy, że całka po lewej stronie jest po zewnętrznej stronie powierzchni $S.$ Tak więc wektor normalny powierzchni „dolnej” musi być zwrócony w dół, więc trzecia składowa wektora normalnego wynosi $-1.$ Analogicznie dla powierzchni $S_3$ wektor normalny wynosi

$[-\frac{\partial g_2}{\partial x},-\frac{\partial g_2}{\partial y},1].$

Weźmy składową $R$ pola wektorowego. Tak więc dla lewej strony dowodzonej równości mamy:

$\underset{S}{\iint }Rdxdy=\underset{S_1}{\iint }Rdxdy+\underset{S_3}{\iint }Rdxdy$

$=\underset{D}{\iint }R(x,y,g_2(x,y))dxdy-\underset{D}{\iint }R(x,y,g_1(x,y))dxdy$

$=\underset{D}{\iint }(R(x,y,g_2(x,y))-R(x,y,g_1(x,y))dxdy.$

Przekształcając prawą stronę dowodzonej równości:

$\underset{V}{\iiint }\frac{\partial R}{\partial z}(x,y,z)dxdydz=\underset{D}{\iint }dxdy\underset{g_1(x,y)}{\overset{g_2(x,y)}{\int }}\frac{\partial R}{\partial z}(x,y,z)dz.$

Dalej, stosując twierdzenie Newtona-Leibniza, otrzymujemy:

$\underset{V}{\iiint }\frac{\partial R}{\partial z}dxdydz=\underset{D}{\iint }(R(x,y,g_2(x,y))-R(x,y,g_1(x,y))dxdy.$

Dowody dla składowych $P$ i $Q$ są analogiczne.

A więc lewa i prawa strona tezy są równe.

Postać wektorowa

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego często zapisujemy w postaci wektorowej.

Niech $\overrightarrow{A}$ będzie dowolnym polem wektorowym, dla którego istnieje dywergencja na całym zamkniętym obszarze o objętości $V,$ otoczonej powierzchnią $S.$ Wtedy Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego ma postać:

$\underset{S}{\int }\overrightarrow{𝐀}\cdot d\overrightarrow{𝐒}=\underset{V}{\int }(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{𝐀})dV,$

gdzie $\overrightarrow{𝐝S}$ jest wektorem powierzchni dla infinitezymalnego elementu powierzchni $dS$ na powierzchni $S,$ a $dV$ jest infinitezymalnym elementem objętości w obszarze $V.$

Zaletą wzoru zapisanego w ten sposób jest jego zwięzłość.

Zobacz też

• prawo Gaussa (elektryczność)
• twierdzenie Stokesa

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Divergence theorem, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2021-03-12].