Całka wielokrotna

Całka wielokrotna stopnia $n$ – całka po $n$ zmiennych z funkcji $n$ zmiennych:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }\dots \int f(x_1,x_2,x_3,\dots x_n)d{x}_{1}d{x}_{2}d{x}_3\dots d{x}_n.$

Szczególne przypadki całki wielokrotnej, to:

• całka podwójna

$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy;$

• całka potrójna

$\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz.$

Całka potrójna

Całka ta ma interpretację masy zawartej w bryle o gęstości $\rho =f(x,y,z).$

Zamiana na całkę iterowaną

Jeżeli $V$ jest odpowiednim obszarem normalnym $V=\{a⩽x⩽b;g(x)⩽y⩽h(x);p(x,y)⩽z⩽q(x,y)\},$ to

$\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left(\underset{g(x)}{\overset{h(x)}{\int }}\right(\underset{p(x,y)}{\overset{q(x,y)}{\int }}f(x,y,z)dz\left)dy\right)dx\stackrel{\mathrm{o}\mathrm{z}\mathrm{n}}{=}\underset{a}{\overset{b}{\int }}dx\underset{g(x)}{\overset{h(x)}{\int }}dy\underset{p(x,y)}{\overset{q(x,y)}{\int }}f(x,y,z)dz.$

Jeżeli $V=\{(x,y)\in D;p(x,y)⩽z⩽q(x,y)\},$ to

$\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz=\underset{D}{\iint }(\underset{p(x,y)}{\overset{q(x,y)}{\int }}f(x,y,z)dz)dxdy.$

Analogicznie zamieniamy na całkę iterowaną inne całki po obszarze normalnym. Taka zamiana jest szczególnie prosta w przypadku całkowania po prostopadłościanie. Jeżeli obszar $V$ nie jest obszarem normalnym, dzielimy go na obszary normalne.

Zamiana zmiennych

Niech obszar regularny domknięty $D$ jest obrazem obszaru regularnego domkniętego $\mathrm{\Omega }$ w przekształceniu

$\mathrm{\Phi }=\{x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)\},$

które jest klasy C¹ w pewnym obszarze zawierającym obszar $\mathrm{\Omega }$ oraz

którego jakobian $J=\frac{D(x,y,z)}{D(u,v,w)}=\left|\begin{array}{ccc}x{\text{'}}_u& x{\text{'}}_v& x{\text{'}}_w\\ y{\text{'}}_u& y{\text{'}}_v& y{\text{'}}_w\\ z{\text{'}}_u& z{\text{'}}_v& z{\text{'}}_w\end{array}\right|$ jest różny od zera wewnątrz $\mathrm{\Omega }.$

Ponadto niech $f$ jest dowolną funkcją ciągłą w $D.$ Wtedy

$\underset{D}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz=\underset{\mathrm{\Omega }}{\iiint }f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|dudvdw.$

Uwaga. $|J|$ oznacza wartość bezwzględną jakobianu, zaś $x{\text{'}}_u=\frac{\partial x}{\partial u}$ oznacza pochodną cząstkową i analogiczne znaczenia mają wszystkie inne litery ze wskaźnikami dolnymi.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Multiple integral Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].