Całka podwójna

Całka podwójna to całka po dwóch zmiennych z funkcji dwóch zmiennych $z=f(x,y):$

$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy.$

Całka ta ma interpretację objętości zawartej między płaszczyzną $z=0$ a powierzchnią $z=f(x,y).$

Jest szczególnym przypadkiem całki wielokrotnej.

Zamiana na całkę iterowaną

Jeżeli $D$ jest obszarem normalnym względem osi OX, tzn. $D=\{a⩽x⩽b;g(x)⩽y⩽h(x)\},$ to

$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{g(x)}{\overset{h(x)}{\int }}f(x,y)dy)dx.$

Analogicznie zamieniamy na całkę iterowaną całkę po obszarze normalnym względem osi OY. (Prostokąt jest obszarem normalnym zarówno względem osi OX, jak i OY). Jeżeli obszar $D$ nie jest obszarem normalnym, dzielimy go na obszary normalne.

Zamiana zmiennych

Załóżmy, że obszar regularny domknięty $D$ jest obrazem obszaru regularnego domkniętego $\mathrm{\Omega }$ we wzajemnie jednoznacznym przekształceniu

$\mathrm{\Phi }=\{x=x(u,v),y=y(u,v)\},$

które jest klasy C¹ w pewnym obszarze zawierającym obszar $\mathrm{\Omega },$ oraz

którego jakobian $J=\frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\left|\begin{array}{cc}x{\text{'}}_u& x{\text{'}}_v\\ y{\text{'}}_u& y{\text{'}}_v\end{array}\right|$ jest różny od zera wewnątrz $\mathrm{\Omega },$

zaś $f$ jest dowolną funkcją ciągłą w $D.$ Wtedy

$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv.$

Uwaga. $|J|$ oznacza wartość bezwzględną jakobianu, zaś $x{\text{'}}_u=\frac{\partial x}{\partial u},x{\text{'}}_v=\frac{\partial x}{\partial v},y{\text{'}}_u=\frac{\partial y}{\partial u},y{\text{'}}_v=\frac{\partial y}{\partial v}$ oznaczają pochodne cząstkowe.

Zobacz też

• całka powierzchniowa