Twierdzenie Stokesa

George Gabriel Stokes (1819–1903)

Twierdzenie Stokesa – twierdzenie mówiące, że cyrkulacja pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym konturze gładkim jest równa strumieniowi rotacji pola przez dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem. Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w teorii pól. Używane jest w mechanice płynów, równaniach Maxwella i wielu innych. Twierdzenia Greena i Ostrogradskiego-Gaussa można traktować jako szczególne przypadki twierdzenia Stokesa.

Twierdzenie Stoksa ma źródła w pracach Ampère'a z 1826 roku. W jego standardowej postaci została opracowana przez Williama Thomsona jeszcze przed 1850 rokiem i przekazana G. G. Stokesowi, który opublikował je jako problem w egzaminach Szablon:Link-interwiki w 1854 roku. Nie jest wiadome, czy ktoś rozwiązał problem, ale jednym z uczestników był Maxwell, to właśnie on uzyskał informacje, że Stokes otrzymał twierdzenie od Thomsona. Pierwszy dowód twierdzenia został opublikowany przez Szablon:Link-interwiki w 1861.

Twierdzenie Stokesa w przestrzeni ${ℝ}^3$

Jeżeli $\mathrm{\Sigma }$ jest płatem powierzchni w ${ℝ}^3,$ a $\partial \mathrm{\Sigma }$ jego gładkim, zorientowanym dodatnio konturem, to dla dowolnego pola wektorowego $F:=P\overrightarrow{i}+Q\overrightarrow{j}+R\overrightarrow{k},$ (gdzie $F\in C^1(\overline{\mathrm{\Sigma }})$) mamy:

$\underset{\partial \mathrm{\Sigma }}{\oint }\overrightarrow{F}d(\overrightarrow{\partial \mathrm{\Sigma }})=\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }\mathrm{rot}\overrightarrow{F}d\overrightarrow{\mathrm{\Sigma }}.$

Dowód

Niech $\mathrm{\Sigma }=\{r(s,t),(s,t)\in D\},$ gdzie $r(s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))$ oraz $r(D)=\mathrm{\Sigma }.$ Wówczas, wykorzystując regułę łańcuchową oraz wzór na całkę krzywoliniową (tu krzywą jest $r(s,t)$), otrzymujemy równość:

$\underset{\partial \mathrm{\Sigma }}{\oint }Pdx=\underset{\partial D}{\oint }(P\circ r)(x{\text{'}}_{s}ds+x{\text{'}}_{t}dt).$

(Analogiczne wzory zachodzą dla składowych $Q$ i $R$).

A więc z twierdzenia Greena mamy:

$\underset{\partial \mathrm{\Sigma }}{\oint }Pdx=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial }{\partial s}((P\circ r)x{\text{'}}_t)-\frac{\partial }{\partial t}((P\circ r)x{\text{'}}_s))dsdt.$

Po prawej stronie powyższej równości stosujemy wzór na pochodną iloczynu oraz regułę łańcuchową i otrzymujemy:

$\underset{\partial \mathrm{\Sigma }}{\oint }Pdx=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial P}{\partial y}(x{\text{'}}_{t}y{\text{'}}_s-x{\text{'}}_{s}y{\text{'}}_t)+\frac{\partial P}{\partial z}(x{\text{'}}_{t}z{\text{'}}_s-x{\text{'}}_{s}z{\text{'}}_t))dsdt.$

Gdy przeprowadzimy analogiczne rozumowania dla składowych $Q$ i $R$ i wyniki zsumujemy, otrzymamy:

$\underset{\partial \mathrm{\Sigma }}{\oint }\overrightarrow{F}d(\overrightarrow{\partial \mathrm{\Sigma }})=\underset{D}{\iint }(\mathrm{rot}F(s,t))\circ \overrightarrow{n}(s,t)dsdt,$

gdzie $\overrightarrow{n}(s,t)=r{\text{'}}_s\times r{\text{'}}_t.$

Jednak prawa strona powyższego równanie jest strumieniem pola wektorowego $\mathrm{rot}F$ przez płat $\mathrm{\Sigma }.$ Co daje tezę.

Najogólniejsza wersja twierdzenia Stokesa

Twierdzenie Stokesa można wypowiedzieć najogólniej dla $n$-wymiarowych powierzchni gładkich.

Załóżmy, że $H\subseteq {ℝ}^N$ jest orientowalną powierzchnią gładką, $K\subseteq H$ jest zbiorem zwartym oraz $K=\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}K$ oraz że brzeg $\mathrm{F}\mathrm{r}K$ jest $(M-1)$-wymiarową powierzchnią gładką. Jeżeli $W\subseteq {ℝ}^N$ jest zbiorem otwartym zawierającym powierzchnię $H,$ $\mathrm{\Omega }:W\to S^{M-1}({ℝ}^N,ℝ)$ jest formą klasy $C^1,$ a $\sigma$ jest orientacją powierzchni $H,$ to

$\underset{[K{]}_{\sigma }}{\int }d\mathrm{\Omega }=\underset{[\mathrm{F}\mathrm{r}K{]}_{{\sigma }^{\mathrm{F}\mathrm{r}}}}{\int }\mathrm{\Omega },$

gdzie orientacja ${\sigma }^{\mathrm{F}\mathrm{r}}$ powierzchni $\mathrm{F}\mathrm{r}K$ dana jest wzorem

${\sigma }^{\mathrm{F}\mathrm{r}}(y)=\{(a_1,\dots ,a_{M-1})\in B_{(\mathrm{F}\mathrm{r}K{)}_y}:(z(y),a_1,\dots ,a_{M-1})\in \sigma (y)\}$

dla $y\in \mathrm{F}\mathrm{r}K,$ a

$z:\mathrm{F}\mathrm{r}K\to {ℝ}^N$

jest taką funkcją, że $z(y)$ jest wektorem zewnętrznym do zbioru $K$ w punkcie $y,$ $|z(y)|=1,$ $z(y)$ jest wektorem normalnym do powierzchni $\mathrm{F}\mathrm{r}K$ w punkcie $y$ dla każdego $y\in \mathrm{F}\mathrm{r}K.$

Wnioski

Wzór Gaussa-Ostrogradskiego

Załóżmy, że $W\subseteq {ℝ}^N$ jest zbiorem otwartym, $K\subseteq W$ zbiorem zwartym, który jest równy domknięciu swojego wnętrza oraz takim, brzeg $\mathrm{F}\mathrm{r}K$ jest $(N-1)$-wymiarową powierzchnią gładką oraz

$z:\mathrm{F}\mathrm{r}K\to {ℝ}^N$

jest funkcją o własnościach

• $z(y)$ jest wektorem zewnętrznym do $K$ w punkcie $y,$
• $|z(y)|=1,$
• $z(y)$ jest wektorem normalnym do $\mathrm{F}\mathrm{r}K$ w punkcie $y$ leżącym na brzegu $\mathrm{F}\mathrm{r}K.$

Jeżeli $\omega :W\to {ℝ}^N$ jest funkcją klasy $C^1,$ to

$\underset{\mathrm{F}\mathrm{r}(K)}{\int }\omega (y)z(y){\mu }_{\mathrm{F}\mathrm{r}}(dy)=\underset{K}{\int }\mathrm{div}\omega (y)dy,$

gdzie $\mathrm{div}$ oznacza operator dywergencji.

Wzór Greena-Riemanna

Szablon:Osobny artykuł Załóżmy, że $W\subseteq {ℝ}^2$ jest zbiorem otwartym, $K\subset W$ jest zbiorem zwartym takim, że $K=\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}K$ oraz brzeg $\mathrm{F}\mathrm{r}K$ jest krzywą gładką (to znaczy powierzchnią gładką 1-wymiarową), a ponadto

$s:\mathrm{F}\mathrm{r}K\to {ℝ}^2$

jest funkcją o własnościach

• $s(y)$ jest wektorem stycznym do krzywej $\mathrm{F}\mathrm{r}K$ w punkcie $y,$
• $|s(y)|=1,$
• $\det [z(y),s(y)]>0.$

gdzie $z(y)$ jest funkcją taką jak w poprzednim twierdzeniu (przy $N=2$). Jeżeli $\omega =({\omega }_1,{\omega }_2):W\to {ℝ}^2$ jest funkcją klasy $C^1,$ to

$\underset{\mathrm{F}\mathrm{r}(K)}{\int }\omega (y)s(y){\mu }_{\mathrm{F}\mathrm{r}}(dy)=\underset{K}{\int }({\omega }_{2|1}(y)-{\omega }_{1|2}(y))dy.$

Linki zewnętrzne

• Jerzy Juliusz Kijowski, Twierdzenie Stokesa, kanał Centrum Fizyki Teoretycznej PAN na YouTube, 18 maja 2021 [dostęp 2021-05-23].
• Szablon:Otwarty dostęp Stokes theorem Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].