Twierdzenie Greena

Niech $D$ będzie obszarem normalnym, takim że $x\in [a,b]$ oraz $g_1(x)<y<g_2(x),$ wtedy brzeg $D$ możemy podzielić na krzywe gładkie $C_1,C_2,C_3,C_4,$ co dość dobrze obrazuje twierdzenie.

Twierdzenie Greena – twierdzenie analizy matematycznej wiążące pewne całki krzywoliniowe – konkretniej całki okrężne na płaszczyźnie – z całkami podwójnymi. Jest to szczególny przypadek twierdzenia Stokesa, które już nie zawiera warunku płaskości krzywej. Zostało sformułowane przez angielskiego matematyka i fizyka George’a Greena.

Treść twierdzenia

Jeżeli funkcje $P$ i $Q$ są klasy $C^1$ wewnątrz obszaru regularnego $D,$ krzywa regularna $K$ jest brzegiem obszaru $D$ i jest zorientowana dodatnio, to:

$\underset{K}{\int }(Pdx+Qdy)=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy.$

Powyższy wzór jest nazywany wzorem Greena.

Aby zaznaczyć, że całka krzywoliniowa jest okrężna (krzywa $K$ jest zamknięta), używa się także symbolu całki z okręgiem:

$\underset{K}{\oint }(Pdx+Qdy)=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy.$

Dowód

Niech $D$ będzie obszarem ukazanym na rysunku obok. Tak więc $\overline{D}=\{(x,y)\in {ℝ}^2:x\in [a,b]\wedge y\in [g_1(x),g_2(x)]\}.$

Wprowadźmy następujące parametryzacje krzywych $C_1,C_2,C_3,C_4:$

$C_1=\{(t,g_1(t)):t\in [a,b]\},$

$C_2=\{(b,t):t\in [g_1(b),g_2(b)]\},$

$C_3=\{(-t,g_2(-t)):t\in [-b,-a]\},$

$C_4=\{(a,-t):t\in [-g_1(a),-g_2(a)]\}.$

Wówczas $dx=dt$ dla $C_1,$ $dx=-dt$ dla $C_3$ oraz $dx=0$ dla $C_2,C_4.$

Tak więc dla składowej $P$ pola wektorowego otrzymujemy:

$\underset{K}{\oint }Pdx=\underset{C_1}{\int }Pdx+\underset{C_3}{\int }Pdx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}P(t,g_1(t))dt+\underset{-b}{\overset{-a}{\int }}P(-t,g_2(-t))(-dt)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(P(t,g_1(t))-P(t,g_2(t)))dt,$

zaś w całce podwójnej z prawej strony równości w tezie bierzemy składnik $-\frac{\partial P}{\partial y}:$

$\underset{D}{\iint }-\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy=\underset{a}{\overset{b}{\int }}dx\underset{g_1(x)}{\overset{g_2(x)}{\int }}-\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dy.$

Stosując twierdzenie Newtona-Leibniza, otrzymujemy:

$\underset{D}{\iint }-\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(P(t,g_1(t))-P(t,g_2(t)))dt.$

Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla składowej $Q.$

Tak więc lewa i prawa strona równania z tezy są równe.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Green formulas Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].